统计与概率范文第1篇
1 概率论中的案例
概率论具有符号化、逻辑性等数学学科所具有的共同特点, 但与高等数学、线性代数相比, 又具有与学生具体生活联络紧密的特点。概率的问题在学生的日常经验中或多或少都有一定的体会, 如何有效的利用这样的直觉感受, 促进学生对于知识点的理解和掌握, 成为我们思考教学创新的主要着眼点。以下的几个案例, 是我们在案例教学创新中已经实践的几个。
1.1 案例1:全概率公式在敏感事件调查中的应用
在介绍全概率公式中, 学生对于概念的理解有一定的困难, 解题过程中虽可以比较容易地应用, 但并不觉得引入这些公式有什么必要性。我们引入了敏感事件调查这个例子。这样的一个案例, 对于经管类的文科学生具有一定的现实意义, 为学生提高市场调查、问卷设计的能力提供了一定的帮助。
在市场调查实践中, 往往会涉及一些不方便提供的一些信息, 即所谓的敏感信息, 比如我们想要调查特定人群中的吸毒人员比例。针对这一情况, 需要做一些技术处理, 基本的核心是:如果我们需要调查的初始样本容量为n, 我们将设计调查的样本个数为2n, 采取随机抽样回答问题的方式比如从100个白球100个红球中随机抽球的方式回答两种不同的问题:若抽到白球, 则回答我们的目标敏感问题, “是否吸毒”;若抽到的是红球, 则回答一个无敏感性的问题, 如手机号码的尾号是否为奇数, 这一指标我们可以通过其它方式方便得到手机尾号为奇数的概率为p1。通过调查数据, 我们可以统计出在2n个样本中回答“YES”的人数m。对于我们想要调查的吸毒人员的比例p, 可以利用全概率公式得到表达式m2n=p×21+p1×21, 其中表达式左侧是样本中回答“YES”的人员比例。这样我们通过简单的计算就可以计算得出我们需要的敏感事件的概率p。
敏感事件调查背景比较简单, 对学生的专业学习和实践应用有帮助, 易引发学生的学习兴趣。
1.2 案例2:随机实验-学生点名
教学创新要更贴进现代和学生以后的应用方向, 单纯的计算已经不适应学生以后的发展。我们发现“用EXCEL进行学生随机点名”这一案例的引入, 很好地切合了数学模型的思想。
针对学生相对熟悉的EXCEL软件, 我们应用有了两个自带函数:rand () 产生均匀分布U (0, 1) , ceiling () 向上取整函数, 构造了一个随机点名的数学模型:ceiling (n×rand () , 1) 其中n表示点名册中的学生人数。本质上我们通过产生U (0, n) 随机数, 后采取向上取整与学生在点名册中一一对应的序号的方式, 实现随机点名。
用这样的一种方式, 在教学的过程中可以让学生体会: (1) 简单的随机数的产生对于理解随机变量有一定的直观感受; (2) 更好地让学生建立起概率统计意识。并且这样的例子的引入, 对于二项分布的教学也能起到一定的帮助, 我们所构造的随机点名的模型, 是一个可放回的随机抽样, 假设我们在一个学期里共点名10次, 每次抽20名同学来的话, 针对特定的同学来说, 其被点到的次数ξ, 事实上就是试验次数为200
1
我们所关注的“成功”概率为的二项分布
n
B (200, n1) 。
2 数理统计中的案例
数理统计是以数学为工具, 但本质上不是数学的一门实用学科。数据在我们的生活中无处不在, 如果在我们的教学中能够把统计学的方法和手段让学生有更深入的体会, 对于提高学生的竞争力是很有帮助的。
案例3:救灾物资发放在描述性统计中的应用。
描述性统计是指从原始数据中, 整理出最基础的一些数据, 如基本统计量, 频数、众数等, 我们用案例可以更好地帮助学生理解相关的概念。
作为上级管理部门, 需要了解在物资发放过程中, 具体的物资发放的数量。物资的价值有高有低, 各级发放机构可能会人为地瞒报价值高的物资, 作为上级管理部门, 如何真实地从数据中发现问题?我们可以先针对问题中的核心数据:发放的人数有多少?每个人的基本生活资料数据是比较可信的, 比如发放的盐的数据, 每人每天的用盐量比较少, 并且变化不大, 同时盐的价值比较低, 因此做假的可能性会比较小。我们可以利用这样的比较可信的数据与可能有问题的数据进行对比, 就会发现其中的问题。这个案例, 我们还可以应用在类似的环境中, 比如调整商户的税收等问题。
3 结语
针对《概率论与数理统计》教学中学生理解困难的问题, 我们引入了案例教学法, 列举了三个在教学过程中应用的案例, 展现了案例教学对于促进学生学习兴趣的提高的一些帮助, 更好地实现了教学创新的工作。
摘要：本文是有关案例教学法对《概率论与数理统计》教学提升作用的研究, 列举了三个应用在教学中案例, 讨论了案例与相应知识点结合的问题, 为改善《概率论与数理统计》的教学效果作了一些教学创新。
关键词：案例,概率,统计
参考文献
[1] C.R.Rao.Statistics and Truth:Putting Chance to Work[M].2n Edition, World Scientific Publishing Company, 1997.
统计与概率范文第2篇
1 高度重视概率统计在生活中的应用
1.1 应用概率统计思想处理保险业务
保险行业是一个对保民有利, 使保险公司赚钱的行业。保民只需交纳少量的保险费, 则在保险期间内若遇到意外伤害, 即得保险公司较大数额的理赔补偿, 所以, 很多人都愿意参加保险, 而保险公司也愿意经营这个行业。为什么?理论依据就是统计推断原理:小概率事件在少量次试验中是不会发生的, 但在大量次试验中是必然发生的。于是, 人们在“以防万一”的心理驱驶下, 都愿意用少量的投资去买个“平安”;保险公司则需调查被保险人群发生意外伤害死亡和重大疾病的概率, 制定投保金额的标准, 使保险公司永远不会亏本。例如, 某保险公司估计, 在其管理区里有5000人参加一年期的平安保险, 经调查, 这一地区遇到意外伤害死亡或遇到重大疾病的概率为0.002, 如果遇到此类情况时, 保险公司则需理赔10000元的补偿费。为了使保险公司一年盈利5万元的概率达到98%, 则需保民交纳多少元的保险费;为了使保险公司一年盈利10万元的概率达到98%, 则需保民交纳多少元的保险费?学过概率统计的人对这些计算都不是难事, 问题是如何引导学生参与这样的实践活动, 则是教师所要考虑的重要问题。
1.2 应用概率统计思想看待抽奖
当前, 福利彩票、体育彩票、各地各部门的抽奖活动方兴未艾, 各种股票经久不衰。但不要忘了, 天下没有免费的午餐, 为什么?因为不管那一个抽奖活动, 它所遵循的规则, 都是把“中奖”设定为小概率事件, 又把这些小概率事件赋予大奖, 诸如500万元大奖, 100万元一等奖。当然, 随着参与人员的大量增加, 这些小概率事件也偶尔发生, 的确有人一夜冒富, 但是, 大量的人群却是望洋兴叹。应该说, 福利彩票、体育彩票, 是有利于国家的抽奖活动。至于怎样选号可以提高“中奖”的概率呢?有人介绍过一条选号规则——逆向选号法。从摇奖机的构造角度来说, 它要保证每个数字出现的概率都一样, 所以摇奖的次数越多, 每个数字出现的次数也就趋于相同。所以, 在选号时就应该尽量选择前几次没中过奖的数字。这就是逆向选号法, 其实它是利用了概率的稳定性。
1.3 应用概率统计思想看待赌博现象
赌博令人忧心, 又令人关注, 一些赌徒巧立名目, 设立陷阱, 把一些小概率事件作为获奖事件, 而把大概率事件作为不获奖事件, 让受骗的人们不断“压注”不断输钱。
例如, 有个赌博活动规则如下:每次投入2元, 在一副52张扑克牌 (除掉大皇小皇) 中任意抽取4张, 设立: (1) A={奖金100元}={4张牌同号不同花}; (2) B={奖金30元}={4张牌同花连号}; (3) C={奖金10元}={4张牌完全不同花}; (4) D={奖金5元}={4张牌完全同花}, 若抽不到规定的4张牌, 则投入的2元进入庄家的腰包。
容易算得:
抽牌人每次赢钱的概率为:
而庄家赢钱的概率就是P=0.98503262。这就说明了一个道理:参赌人输钱而庄家赢钱几乎是必然的。
2 高度重视概率统计在生产实践与科学实践中的应用
概率统计在生产实践与科学领域的应用也非常广泛, 如何引导学生的应用意识, 培养学生解决实际问题的能力, 我们认为在教学中应该注重突出以下几个方面。
2.1 突出质量检验
教材中有不少关于质量检验的问题, 尤其是产品的质量检验, 不但牵涉到随机变量的各种分布参数, 也牵涉到这些分布参数的检验方法, 如区间估计法, 假设检验法。对这些内容的传授, 在加强理论疏导的同时, 更应该带领学生到车间去, 对产品进行数据调查, 然后进行统计分析, 写出调查报告。使学生身临其境, 学到处理实际问题的方法。
2.2 突出决策选优
现实中有许多决策问题和选优问题依赖于概率统计, 比如, 概率最大时的随机变量、取得最优状态时的随机变量、平均值最高时的随机变量、方差最小时的随机变量等等, 往往就是一些经过试验优化了的随机变量, 这就是选优的对象, 决策的基础。试验的过程有时要通过方差分析、回归分析、正交试验、主成分分析, 因子分析等等分析方法, 找出优化的规律, 为决策提供依据。对这样的决策选优问题, 教学中必须予以高度重视, 以此来培养学生的的统计能力、分析能力、决策能力。
2.3 突出建模竞赛
建模竞赛是全国性的数学竞赛, 是对大学生用数学知识解决实际问题能力的综合性考察。翻阅各年的建模竞赛题, 有相当部分是与统计有关的, 在调查研究的基础上, 得出大批数据, 然后根据这些数据进行处理, 总结归纳出数学模型, 再利用所得数学模型解决实际问题。因此, 把概率统计的教学纳入建模竞赛的轨道, 是必要且可行的。
2.4 突出软件开发
概率统计的应用程序已经远远超出人们的预想范围, 利用办公软件可以处理许许多多繁杂的日常事务, 利用大型的统计软件如SAS、SPSS等, 可以进行许多复杂的统计分析。在教学中应注重软件的使用, 激励学生参与应用统计软件的研究与开发。
2.5 突出探索追求
本门课程要想重视应用, 就必须在教法和学法上进行大胆的改革试验, 在应用问题上多引导学生作一些探索追求, 学会总结归纳事务发展的规律。第一, 可以向学生介绍一些关于概率统计应用方面的文章, 让学生领略概率统计的应用空间;第二, 组织学生课外小组, 给一些调查提纲, 如某校某班中学生数学成绩的发展状况、某地某村的良种推优过程中的各年平均产量、某地某超市的某商品的销售数量等等, 让学生收集数据并写成调查报告, 以此来鼓励他们的探求欲望。
总之, 对《概率论与数理统计》这门课程来说, 理论固然重要, 应用就更为重要, 因为最能体现课程特点的关键是应用, 而应用又是理论指导下完成的, 因此, 在保证理论教学畅通的前提下, 要重点突出应用性教学, 把解决实际问题作为教学的归宿。
摘要：《概率论与数理统计》是一门理论性很强的学科, 而且也是一门应用性很强的学科。在教学中, 我们不但追求理论的严密性, 而且更要追求实践的应用性, 突出这门学科在生活、生产、科研等方面所起的作用。
关键词：概率论,数理统计,应用性,精品课程
参考文献
[1] 盛骤, 谢弍千.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社, 2001.
[2] 邓华玲.概率论与数理统计课程的改革与实践[J].大学教学, 2004 (1) .
[3] 赵蛛淳.概率论与数理统计创新教学模式初探[J].高等教育研究学报, 2001 (1) .
统计与概率范文第3篇
一、预测中奖概率
当今时代，彩票产业飞速发展，人们都能通过自己能成为那个幸运儿，彻底改变自己的生活状态。因此，在现阶段的社会经济发展中，彩票成为普通大众经济生活的一个热点话题。据不完全统计，在我国，每100个人中至少有三个人购买过彩票，那么，彩票中奖的概率到底有多大呢?人们通过购买彩票发家致富愿望真的能够达成吗?这就需要人们在购买彩票之前运用概率论数理统计知识计算中奖率，理性购买彩票。以日常生活中比较常见的“双色球”彩票的中奖概率为例。在“双色球”彩票中，一共分为3个奖项，一等奖的中奖原则是“六加一”，即抽中六个红色球和一个蓝色球即中奖，既然如此，记“彩票购买者中一等奖”为事件A，“中二等奖”为事件B，“中三等奖”为事件C，那么购买彩票中奖的概率大概是P(A)+P(B)+P(C)=6.7%，也就是说一个人每买一百次“双色球”彩票，他大概有六到七次的中奖机会，而在所有的中奖可能中，购买者中一等奖的概率只有1/17721088，能在两千多万个参与者中成为那个幸运儿，其难度可想而知。
由此可见，彩票中奖的概率并不高，想把购买彩票作为职业来发家致富的可能性基本是不存在的。在购买彩票之前，概率论与数据统计知识的运用有助于帮助购买者你先看看中奖概率，以平常心看待每一次购买彩票的行为，不要对其能够中奖抱有过大期待，而去把时间和精力投入到能切实为自己带来效益的社会经济活动中。
二、防范金融风险
在当今社会中，“炒股”也是一个热门话题，和彩票购买不同，“炒股”需要运用到相当专业的金融知识以及概率论思想，如此才能在日趋激烈的金融市场上抓住机遇，防范金融风险，创造经济效益。假设现行市场上有三种股票，通过初步预测，这三种股票能为持股人带来经济效益的概率分别是0.8,0.5,0.3，那么，这三只股票中至少有一种股票能够获利的概率是多少呢?在已经知道一定的概率数据的前提下，股票购买者就可以提前计算各种股票的获利概率，在上述问题中，就可以利用现成的概率计算公式来计算至少有一种股票能够获利的概率。依旧是以上述给出的股票获利数据为例，至少有一种股票获利的概率大概是0.93。虽然说这个数据不一定是准确无误的，但是至少可以为股票购买者提供一定的参考，有助于股票购买者理性购买，有利于防范金融风险。
三、保险问题
随着我国社会保障事业的不断深入发展，保险成问题成为广大城乡居民共同关注的热点问题。在选择办理保险业务时，人们总希望能够选择那种能够为自己带来实际收益的保险服务，在众多的保险保障业务中，他们只有计算每一种业务为自己带来的实际收益，才有助于自己做出正确选择。换个角度来说，保险办理者可以通过逆向思维考虑保险公司的经济业务情况，从而来推导出自己可能获益的概率。
在实际投保前，投保人可以参考借鉴一下保险公司的相关数据。现在我们做出简单举例，假设一年中有2000个人在保险公司投保，而这些人发生意外事故的概率大概是0.005%，每人办理保险业务都需要交费20元，倘若发生事故，择期可以领取2000元的保险金，那么，就可以根据这些数据计算保险公司的亏本概率，通过伯努利实验以及相关的计算公式，我们最终可以得出保险公司亏本的概率无限接近于0的答案，虽然这项计算受到外界不确定性因素影响较大，但是也足以为投保人提供一定的参考，有助于投保人在一众保险业务中做出正确抉择，为自己带来最大化收益。
结束语：
综上所述，概率论与数理统计是以一门实用价值比较高的学科，能够用来解决很多现实生活中存在的经济问题。通过概率论与数理统计，人们能够计算彩票中奖的概率、能够计算炒股获利的概率、能为自己选择哪种保险业务提供数据参考。对这项数学知识的充分利用，有助于人们客观地看待一些“经济陷阱”，合理规划自己的经济活动，让自己的经济活动多一些理性，人们必将从此受益。
摘要：概率论与数理统计主要致力于对随机现象统计规律的研究,是一门注重演绎归纳和规律统计的学科。在现实经济生活中,概率论数理统计的应用可以涉及到方方面面。因此,本文将着重分析概率论与数理统计的数学思想以及数学方法在经济生活中的实际运用,立足于现实生活,展现概率论与数理统计的高效性和实用性。
关键词：概率论与数理统计,经济生活,统计思想,应用
参考文献
[1] 姜权.概率论与数理统计在大数据分析中的应用策略[J].山东农业工程学院学报,2018,35(12):10-11.
[2] 李双.《概率论与数理统计》教材与实践[J].数学教育学报,2012,21(05):84-87.
[3] 孙明娟,乔克林,董庆来.概率论与数理统计教学中学生应用能力的培养[J].陕西教育(高教版),2012(Z1):137+141.
统计与概率范文第4篇
[摘 要] 大学数学与中学数学间的有效衔接主要体现在检查模式、教学内容与方法上，衔接工作能够保障数学教学的实效性。为此，对中学新课标背景下大学概率统计与中学数学的衔接问题进行了深入的分析，并对比了大学数学与中学数学中概率统计部分的教学任务，从而提出相应的大学概率统计可行性教学方案，以保证大学概率统计数学的教学工作得以顺利开展。
[关 键 词] 概率统计;中学数学;教学内容;衔接
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教育部于2003年出台了《普通高中数学课程标准》，从课程理念、内容与框架角度出发，新标准相对于传统教学标准发生的变化较大。而相对于中学数学而言，大学数学的改革较为滞后，尤其是在中学与高校的改革过程均属独立，因此，大学数学与中学数学必然在教学内容等方面出现严重的脱轨或重复现象。在这种情况下，高校势必要做好大学数学与中学数学的衔接工作。
一、概率内容的衔接
（一）高中概率教学内容分析
高中新课标概率教学部分主要包括五部分构成：随机变量的数字特征、概率应用、集合概型与古典概型、随机事件与概率、条件概率与事件的独立性。针对于高中概率部分，新课标提出的教学任务有：实际教学中，学生要充分了解随机事件发生频率的稳定性和不确定性，并掌握概率的意义，同时能够区分概率及频率的本质。
（二）大学概率教学内容分析
大学概率教学部分主要包括以下几部分构成：随机变量及其分布、概率论基本概念、中心极限定理、随机变量的数字特征、多维随机变量及其分布、大数定律。针对于大学概率部分，提出的教学任务有：学生要对样本空间及随机试验进行深入的了解，并掌握随机事件的运算和概念，能够清晰地对概率和频率的公理化概念以及统计概念有所了解，认识到概率的基本性质。
二、统计内容的衔接
（一）高中统计教学内容分析
高中新课标统计教学部分主要包括四部分构成：变量的相关性、随机抽样、统计案例、用样本估计总体。针对高中统计部分，新课标提出的教学任务有：学生要具备从其他学科或实际生活中抽象出具有统计价值的相关问题能力，并能够对具体的实际问题情境进行有效结合，随即了解了抽样学习的重要意义以及必要意义。在统计问题的解决中，学生要掌握从总体中抽取样本的简单随机抽样方法。
（二）大学统计教学内容分析
大学统计教学部分主要包括六部分构成：参数估计、回归分析、样本、抽样分布、方差分析、假设检验。针对于大学统计部分，提出的教学任务有：大学生要掌握样本、总体、统计量与个体的概念，并对两重点估计的定义以及区间估计的定义进行深入理解。与此同时，大学生还要具备计算单个总体的方差的置信区间与均值，能够解出两个总体的方差比的置信区间与均值差。并对假设检验的基本思想进行深入了解，掌握单个正态总体的均值的假设检验。
三、大学概率统计教学与中学数学教学内容衔接的注意事项
（一）概率部分
通过上文的大学与中学概率教学任务来看，有许多重复的内容，部分中学概率教学任务要求相对较低，主要体现在概率概念中仅对概率的概念以及区别概率与频率提出了要求，不要求较为严密的概率的公理化定义。从数字特征角度出发，只对取值有限的离散型随机变量的方差与均值的计算与理解提出了要求。
大学与高中概率内容讲解最大的区别体现在全概率公式、对偶率、贝叶斯公式以及差事件上。由此可见，在概率教学中的概率论基本概念部分，大学教学主要是对重复的内容进行复习。例如，中学古典概型问题讲解也很细致，题目的难度系数也能满足教学要求，那么大学概率教学在这部分就没必要花费过多的时间。针对几何概型问题，学生在高中阶段普遍掌握得较好，为此，大学教师仅需要列举几个相关的教学实例即可。另外，大学概率教学阶段涉及数学期望、有限个离散型随机变量的分布律可以简单讲授。但相对其上述两项内容而言，高中阶段方差的练习还是较少的，那么，大学任课教师就要正常讲解有关方差的内容。
（二）统计部分
中学统计教学任务倾向于实践应用，不要求统计理论的掌握，对大学统计部门的教学体系建立基本不产生影响。在这种情况下，高中介绍数理统计基本概念相对于大学而言，系统性和详细性较为逊色，因此，大学统计教学的执行应该基本以原大纲为导向。
综上所述，针对大学概率统计教学，任课教师要采取最佳教学策略，避免出现教学内容重复的现象，并以学生的实际统计概率掌握情况出发，不断探索大学概率统计教学与中学数学教学内容相衔接的方法，精心设计教学流程，促进大学概率统计教学水平的提升。
参考文献：
[1]王亮.中学数学中概率统计教学问题研究[D].辽宁师范大学，2012.
[2]张馨心.高中数学概率统计的教学设计研究[D].辽宁师范大学，2011.
统计与概率范文第5篇
关键词：概率统计;教育环境;概念理解;教学效果
在当今的信息时代，数学知识在科学研究、工程技术、人文社会科学以及经济生活等领域中的作用越来越重要。而概率统计课程几乎是每所高等院校理工科与经管专业本科阶段的必修数学课程，它是研究随机现象的一门学科，它与实际问题联系非常密切，应用非常广泛，其重要性不言而喻。
但是在教学过程中，我发现学生在对某些内容的理解上颇为困难，尤其是一些概念和定理。为此我结合教育对象和教学过程，研究“大众化教育”阶段课程的教学方法与手段，这对提高课程的教学质量，提高学生的数学应用能力等都具有一定的意义。
一、课程面临的问题及课程的特点
1.概率统计课程面临的问题
近年来，我国高等教育发展迅速，学校的本科教学规模也快速发展。如何保证本科生的教学质量就成为高等教育发展中的突出问题，怎样提高概率统计课程的教学质量也是我们必须面对和研究的问题。
多年的教学经历告诉我们，概率统计课程的教学面临着以下几个问题。
(1)受教育的对象发生了很大变化。学生基础与学习积极性跟过去相比都有较大区别，学生之间的基础差异也较大，一些学生很难适应概率统计课程的教学要求，给课程的教学带来了一定困难，使课堂教学效果大打折扣。
(2)社会和大教育背景的变化。在当今商品经济高速发展、物质利益追求不断膨胀的环境中，学校的整体教与学的态度、目的和效果直接或间接地受其影响，而这种影响是复杂和持久的，其作用也是不能低估和忽视的。比如说，教师的讲授和学生的学习在很多情况下不够细致和扎实，而是像生产过程一样追求所谓“效率”和“功利”。很多同学只是应付考试及格，只满足于会做老师要求的几个简单习题。这种状况对学生真正掌握知识是极为不利的。
2.课程的特点
概率统计课程的内容分为概率和统计两部分，前者是后者的基础，同时前者是该课程最难之处，需要较多时间和精力才能保证学习效果。
从表面看，工科和经管专业的概率统计课程所用的数学工具只是中学数学知识和大学一年级所学的微积分，应该说学生对这些工具并不陌生。但是在概率理论中，有一个以往数学课程中所没有的关键而本质的概念，即所谓“概率空间”的概念。这个概念就是学生感到抽象而困惑的根源所在。
我们知道概率统计是研究随机现象的一门学科，而每个随机现象的背后都隐藏一个“概率空间”，它包含所有可能发生的结果和我们所关心的一些事件及对应的概率。这里就涉及一个集合与数字相对应的问题，而我们以往的数学课程往往考虑的是数字与数字之间的关系。比如高等数学中讨论最多的函数，就是实数到实数的映射。因此学生对于一个集合对应一个数字(概率)这样的数学理念比较陌生。
上述不同则造成了初学者理解“概率空间”的障碍。如果不能很好地理解“概率空间”的概念，那么就无法很好地理解“随机变量”和“分布函数”等概念，进而影响整个课程内容的掌握。
鉴于此，我们提出加强基本概念的理解，注意概念间的区别和联系。
二、加强概念理解，注意概念间的区别和联系
概念对于数学课程的学习至关重要，概率论与数理统计中的概念也不例外，从一开始就要引导学生重视理解概念。
比如在第一章的最开始，就出现了样本空间的概念，它是概率空间的一个基本要素，因此需要花一定的时间，举较多的例子让同学们理解好。接着提到了概率的三种定义：统计定义、古典定义、公理化定义。我们可以先让学生自己分析异同点，并在课堂上自主发言讨论。说的不完整甚至说错了都没关系，应鼓励同学动脑筋，大胆表达和交流，然后我们老师再来分析，举例说明异同。还可以布置学生课下写总结，并找出习题中或生活中一些不同场合下我们使用概率的不同定义的例子。对样本空间和概率的定义有了很好的理解之后，对概率空间的理解就水到渠成了。
根据多年的经验，我们觉得还有如下一些概念和定理尤其需要学生注意区别和联系，比如全概率和贝叶斯公式、离散型和连续型随机变量、分布函数和密度函数、一维和多维随机变量等概念。
对于这些概念的理解与区别，我们认为可以考虑采用如下线索进行：第一，课前预习，做到心中有数;第二，课堂讨论，做到是非分明;第三，课下自主总结，加深理解;也可布置學生找出习题或实例中牵涉的相关概念并分析区别，做到理论联系实际，这样比单纯地做出题目答案效果更好。
采用如上措施，至少具有下面以下意义：第一，从解题角度来看，弄清了概念的内涵、区别及联系，避免了张冠李戴，提高了解题效率和准确率;第二，从学习能力角度看，让同学们通过比较、分析、总结、表达、相互指正的方式来理解概念有助于培养他们自主学习和独立探索的习惯，提高表达能力以及透过现象得出规律的归纳能力，而这些是今后继续学习或从事科研工作所必备的品质;第三，从学以致用的角度看，只有真正透彻地理解了概念才能正确熟练地运用它们来解决实际生产生活中的问题。
因此，我建议在教学过程中从老师自身做起，带领学生脚踏实地地进行，避免社会和教育环境中浮躁、急功近利的做法的影响，重视基本的概念理解，基础打好，楼房才能盖得高。学习知识不可“速成”，需要耐心与恒心。
(作者单位 浙江省杭州中国计量学院)