高二推理证明复习范文

高二推理证明复习范文第1篇

高二文科数学期末复习---推理与证明

一.1.

二.1. 观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,„中x,y,z的值依次是 ()

(A)42,41,123;(B) 13,39,123;(C)24,23,123;(D)28,27,123.

2.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性

质，你认为比较恰当的是()

①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等;②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等;③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等

A.①; B.①②; C.①②③; D.③。

3. 由①正方形的对角线相等;②平行四边形的对角线相等;③正方形是平行四边形，根据

“三段论”推理出一个结论，则这个结论是()

(A) 正方形的对角线相等(B) 平行四边形的对角线相等(C) 正方形是平行四边形(D)其它

4. 下列表述正确的是()

①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.

A.①②③; B.②③④; C.②④⑤; D.①③⑤

5. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是()

(A)假设三内角都不大于60度;(B) 假设三内角都大于60度;

(C) 假设三内角至多有一个大于60度;(D) 假设三内角至多有两个大于60度。

三.典型例题：

例1 、在必修⑤里面我们曾经学习了基本不等式：当a0,b0时,有

且还知道此结论对三个正数、四个正数均成立，即 abab成立,并

2当a,b,c0时,有abcabcdabc成立当a,b,c,d0时,有abcd成立 3

4猜想，当a1,a2,,an0时，有怎样的不等式成立?

例

2、用适当方法证明：已知：a0,b0，求证：

例

3、求证：

(1)a2b23abab);(2) 6+>22+5。

例

4、用反证法证明：2,3,5不能为同一等差数列的三项.例

5、已知数列{an}满足Sn+an=2n+1,(1) 求出a1, a2, a3的值;

(2) 推测an的表达式并证明。

例

6、已知数列an的前n项和为Sn，且a11,Snn2an(nN)，

(1)试计算S1,S2,S3,S4，并猜想Sn的表达式;

(2) 证明你的猜想，并求出an的表达式。

例

7、已知：空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，判断直线EF与平面ABD的

关系，并证明你的结论.aba ba

巩固练习：

1、设a,b,c大于0，则3个数：a111，b，c的值() bca

A、都大于2B、至少有一个不大于2C、都小于2D、至少有一个不小于

22、已知f(x1)2f(x)(xN*),f(1)1 ，猜想f(x)的表达式为()f(x)

24212A.f(x)xB.f(x)C.f(x)D.f(x) 22x1x12x

13、下列推理正确的是()

(A) 把a(bc) 与 loga(xy) 类比，则有：loga(xy)logaxlogay .

(B) 把a(bc) 与 sin(xy) 类比，则有：sin(xy)sinxsiny.

(C) 把(ab) 与 (ab) 类比，则有：(xy)xy.

(D) 把(ab)c 与 (xy)z 类比，则有：(xy)zx(yz).

4、把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论还正确的是()

(A) 如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则比与另一条相交 .

(B) 如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则比与另一条垂直.

(C) 如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交.

(D) 如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行. nnnnn

353,1 , ,,„„归纳出通项公式an =____。288

16、数列{an}中，a1，an13an0，则an的通项公式为。

25、由数列的前四项:

7、有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数” 结论显然是错误的，是因为_______________

8、在十进制中2004410010010210，那么在5进制中数码2004折合成

十进制为_______________

9、图(1)、(2)、(3)、(4)分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥

物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n个图形包含f(n)个“福娃迎迎”，则012

3f(5)f(n)f(n1)(答案用数字或n的解析式表示)

10、设f(x)

122x，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得

f(5)f(4)f(0)f(5)f(6)的值是________________

11、平面内的1条直线把平面分成两部分，2条直线把平面分成4部分，3条相交直线但不

共点的直线把平面分成7部分， n条彼此相交而无3条直线共点的直线把平面分成____部分。

12、若数列{an}，(n∈N)是等差数列,则有数列bn=

列，类比上述性质，相应地：若数列{C

dn=____________ (n∈N)也是等比数列。

13、从1=1，1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),„,推广到第n个等式为

_________________________.14、数列{an}的前n项和为Sn，已知a11,an1

证明：(Ⅰ)数列{

15、在数列{an}中，a11,

16、观察(1)tan10tan20tan20tan60tan60tan101;

高二推理证明复习范文第2篇

一、选择题

1.如下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子()

A.是白色的B.是黑色的

C.是白色的可能性大D.是黑色的可能性大

A

2.由直线与圆相切时，圆心与切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，用的是()

A.归纳推理B.演绎推理C.类比推理D.特殊推理

C

3.用演绎法证明函数yx是增函数时的大前提是()

A.增函数的定义B.函数yx满足增函数的定义

D.若x1x2，则f(x1)f(x2) 33C.若x1x2，则f(x1)f(x2)

A

sinBcosAcosB，则该三角形是() 4.△ABC中，若sinA

A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.以上都不可能 B

5.已知直线a，b是异面直线，直线c∥a，那么c与b的位置关系()

A.一定是异面直线B.一定是相交直线

C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线

C

6.在等差数列an中，若an0，公差d0，则有a4a6a3a7，类比上述性质，在等比数列bn中，若bn0，q1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是()

A.b4b8b5b7

C.b4b7b5b8

A

二、填空题

7.若△ABC内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则△ABC的面积SB.b5b7b4b8 D.b4b5b7b8 1r(abc)，根

2据类比思想，若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1，S2，S3，S4，则四面体的体积为.

1R(S1S2S3

S4)

38.求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60，用反证法证明时的假设为.三角形的三个内角都小于60

9.m克糖水中有n克糖(mn0)，若再添加t克糖(t0)，则糖水变甜了，试根据这一事实得出一个不等式.

nnt mmt

10

写出该数列的一个通项公式an，.

nN*)

1

1.设a

，b

c，则a，b，c的大小关系是. acb

12.半径为r的圆的面积S(r)r，周长C(r)2r，r看作(0，)上的变量，则2

(r2)2r.①

①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.

对于半径为R的球，若将R看作(0，)上的变量，请你写出类似于①的式子：

②式可用语言叙述为：.

432; R4R3

球的体积函数的导数等于球的表面积函数

三、解答题

13.数列an中，a12，an1

表达式. an，nN*，依次计算a2，a3，a4，并归纳猜想an的3an1

a22222，a3，a4.猜想an. 713196n5

14.当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大.将此结论由平面类比例到空间时，你能够得出什么样的结论，并证明你的结论.

由平面类比到空间可得如下结论：当一个球与一个正方体的表面积相等时，这个球的体积比正方体的体积大.

证明略.

15.已知a，b，c(0，1)，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能同时大于1. 4

高二推理证明复习范文第3篇

推理与证明

第三十二讲

推理与证明

2019年

1.(2019全国II文5)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.

甲：我的成绩比乙高.

乙：丙的成绩比我和甲的都高.

丙：我的成绩比乙高.

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为

A.甲、乙、丙

B.乙、甲、丙

C.丙、乙、甲

D.甲、丙、乙

2010-2018年

一、选择题

1.(2018浙江)已知，，，成等比数列，且.若，则

A.，

B.，

C.，

D.，

2.(2018北京)设集合则

A.对任意实数，

B.对任意实数，

C.当且仅当时，

D.当且仅当时，

3.(2017新课标Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则

A.乙可以知道两人的成绩

B.丁可以知道四人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩

D.乙、丁可以知道自己的成绩

4.(2016年浙江)如图，点列分别在某锐角的两边上，

且，.

(P≠Q表示点P与Q不重合)，若，为的面积，则

A.是等差数列

B.是等差数列

C.是等差数列

D.是等差数列

5.(2014北京)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”三种.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”，如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两个学生，那么这组学生最多有

A.人

B.人

C.人

D.人

6.(2014山东)用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是

A.方程没有实根

B.方程至多有一个实根

C.方程至多有两个实根

D.方程恰好有两个实根

7.(2011江西)观察下列各式:

，，，，则的末四位数字为

A.3125

B.5625

C.0625

D.8125

8.(2010山东)观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=

A.

B.

C.

D.

二、填空题

9.(2018江苏)已知集合，.将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列.记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为

.

10.(2017北京)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：

(ⅰ)男学生人数多于女学生人数;

(ⅱ)女学生人数多于教师人数;

(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数.

①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________.

②该小组人数的最小值为__________.

11.(2016年山东)观察下列等式：

;

;

;

;

……

照此规律，_______.

12.(2016年四川)在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为，当是原点时，定义的“伴随点”为它自身，现有下列命题：

①若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点;

②单元圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上;

③若两点关于轴对称，则它们的“伴随点”关于轴对称;

④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线;

其中的真命题是

.

13.(2016年全国II卷)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.

甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________.

14.(2015陕西)观察下列等式：

1-

1-

1-

……

据此规律，第个等式可为______________________.

15.(2014安徽)如图，在等腰直角三角形中，斜边，过点作的垂线，垂足为;过点

作的垂线，垂足为;过点作的垂线，垂足为;…，依此类推，设，，，…，，则_____.

16.(2014福建)若集合且下列四个关系：①;②;③;④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是____.

17.(2014北京)顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下：

工序

时间

原料

粗加工

精加工

原料

原料

则最短交货期为

个工作日.

18.(2014陕西)已知，若，则的表达式为________.

19.(2014陕西)观察分析下表中的数据：

多面体

面数()

顶点数()

棱数()

三棱锥

5

6

9

五棱锥

6

6

10

立方体

6

8

12

猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________.

20.(2013陕西)观察下列等式:

…

照此规律,

第n个等式可为

.

21.(2013湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数1，3，6，10，…，第个三角形数为。记第个边形数为，以下列出了部分边形数中第个数的表达式：

三角形数

正方形数

五边形数

六边形数

……

可以推测的表达式，由此计算

。

22.(2012陕西)观察下列不等式

，

，

……

照此规律，第五个不等式为

.

23.(2012湖南)设，将个数依次放入编号为1,2，…，的个位置，得到排列.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列，将此操作称为C变换，将分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到;当时，将分成段，每段个数，并对每段C变换，得到，例如，当=8时，，此时位于中的第4个位置.

(1)当=16时，位于中的第___个位置;

(2)当()时，位于中的第___个位置.

24.(2011陕西)观察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

……

照此规律，第个等式为

.

25.(2010浙江)设，

将的最小值记为，

则，其中=_______.

26.(2010福建)观察下列等式：K^S*5U.C#O

①

cos2=21;

②

cos4=88+

1;

③

cos6=3248+

181;

④

cos8=128256+

16032+

1;

⑤

cos10=1280+

1120++1.

可以推测，=

.

三、解答题

27.(2018江苏)设，对1，2，···，n的一个排列，如果当时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2.记为1，2，···，n的所有排列中逆序数为的全部排列的个数.

(1)求的值;

(2)求的表达式(用表示).

28*.(2017江苏)对于给定的正整数，若数列满足

对任意正整数总成立，则称数列是“数列”.

(1)证明：等差数列是“数列”;

(2)若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列.

29*.(2017浙江)已知数列满足：，.

证明：当时

(Ⅰ);

(Ⅱ);

(Ⅲ).

*根据亲们所在地区选作，新课标地区(文科)不要求.

专题十二

推理与证明

第三十二讲

推理与证明

答案部分

2019年

1.解析：由题意，可把三人的预测简写如下：

甲：甲乙.

乙：丙乙且丙甲.

丙：丙乙.

因为只有一个人预测正确，

如果乙预测正确，则丙预测正确，不符合题意.

如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确，

则有丙乙，乙甲，

因为乙预测不正确，而丙乙正确，所以只有丙甲不正确，

所以甲丙，这与丙乙，乙甲矛盾.不符合题意.

所以只有甲预测正确，乙、丙预测不正确，

甲乙，乙丙.

故选A.

2010-2018年

1.B【解析】解法一

因为()，所以

，所以，又，所以等比数列的公比.

若，则，

而，所以，

与矛盾，

所以，所以，，

所以，，故选B.

解法二

因为，，

所以，则，

又，所以等比数列的公比.

若，则，

而，所以

与矛盾，

所以，所以，，

所以，，故选B.

2.D【解析】解法一

点在直线上，表示过定点，斜率为的直线，当时，表示过定点，斜率为的直线，不等式表示的区域包含原点，不等式表示的区域不包含原点.直线与直线互相垂直，显然当直线的斜率时，不等式表示的区域不包含点，故排除A;点与点连线的斜率为，当，即时，表示的区域包含点，此时表示的区域也包含点，故排除B;当直线的斜率，即时，表示的区域不包含点，故排除C，故选D.

解法二

若，则，解得，所以当且仅当时，.故选D.

3.D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D.

4.A【解析】表示点到对面直线的距离(设为)乘以长度一半，即，由题目中条件可知的长度为定值，那么我们需要知道的关系式，过作垂直得到初始距离，那么和两个垂足构成了等腰梯形，那么，其中为两条线的夹角，即为定值，那么

，，作差后：，都为定值，所以为定值.故选A.

5.B【解析】学生甲比学生乙成绩好，即学生甲两门成绩中一门高过学生乙，另一门不低于学生乙，一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩，则存在的情况是，最多有3人，其中一个语文最好，数学最差;另一个语文最差，数学最好;第三个人成绩均为中等.故选B.

6.A【解析】“至少有一个实根”的反面为“没有实根”，故选A.

7.D【解析】∵，，，，，，，∴(,且)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记(,且)的末四位数字为，

则，∴与的末位数字相同，均为8

125，选D.

8.D【解析】由给出的例子可以归纳推理得出：若函数是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定义在上的函数满足，即函数是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有=，故选D。

9.27【解析】所有的正奇数和()按照从小到大的顺序排列构成，在数列

中，前面有16个正奇数，即，.当时，，不符合题意;当时，，不符合题意;当时，，不符合题意;当时，，不符合题意;……;当时，=

441

+62=

503<，不符合题意;当时，=484

+62=546>=540，符合题意.故使得成立的的最小值为27.

10.6

12【解析】设男生数，女生数，教师数为，则

①，所以，

②当时，，，，，不存在，不符合题意;

当时，，，，，不存在，不符合题意;

当时，，此时，，满足题意.

所以.

11.【解析】通过归纳可得结果为.

12.②③【解析】对于①，令，则其“伴随点”为，而的“伴随点”为，而不是，故错误;对于②设是单位圆上的点，其“伴随点”为，则有，

所以，所以②正确;对于③设

的“伴随点”为，的“伴随点”

为，易知与关于轴对称，所以③正确;对于④，设原直线的解析式为，其中不同时为0，且为该直线上一点，的“伴随点”为，其中都不是原点，且，则，，

将代入原直线方程，得，

则，由于的值不确定，所以“伴随点”不一定共线，所以④错误.

13.1和3【解析】为方便说明，不妨将分别写有1和2，1和3，2和3的卡片记为A，B，C从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A或B，无论是哪一张，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的

卡片必然是C，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B，此时丙所拿的卡片为A.

14..

【解析】观察等式知：第n个等式的左边有个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到的连续正整数，等式的右边是.

15.【解析】解法一

直接递推归纳;等腰直角三角形中，斜边，所以，，，.

解法二

求通向：等腰直角三角形中，斜边，

所以，，

，故=

16.6【解析】因为①正确，②也正确，所以只有①正确是不可能的;若只有②正确，①③④都不正确，则符合条件的有序数组为，;若只有③正确，①②④都不正确，则符合条件的有序数组为;若只有④正确，①②③都不正确，则符合条件的有序数组为，，.综上符合条件的有序数组的个数是6.

17.42【解析】先由徒弟粗加一工原料，6天后，师傅开始精加工原料，徒弟同时开始粗加工原料，再9天后(15天后)，徒弟粗加工原料完成，此时师傅还在精加工原料，27天后，师傅精加工原料完成，然后接着精加工原料，再15天后，师傅精加工原料完成，整个工作完成，一共需要6

+21+15=

42个工作日.

18.【解析】由，得，

可得，故可归纳得.

19.【解析】三棱柱中5

+6-9

=2;五棱锥中6+6

-10

=2;立方体中6+8

-12

=2，由此归纳可得.

20.12-22+32-42+…+n2=·(n∈)

【解析】观察上式等号左边的规律发现，左边的项数一次加1，故第个等式左边有

项，每项所含的底数的绝对值也增加1，一次为1，2，3，…，指数都是2，符号成正负交替出现可以用表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为·，所以第个式子可为12-22+32-42+…+=·(∈).

21.1000【解析】观察和前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故，

22.【解析】观察不等式的左边发现，第个不等式的左边=，右边=，所以第五个不等式为

.

23.(1)6;(2)

【解析】(1)当=16时，

，可设为，

，即为，

，即，

位于中的第6个位置;

(2)在中位于两段中第一段的第87个位置，位于奇数位置上，此时在中位于四段中第一段的第44个位置上，再作变换得时，位于八段中第二段的第22个位置上，再作变换时，位于十六段中的第四段的第11个位置上.也就是位于中的第个位置上.

24.

【解析】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数，加数的个数是;等式右边都是完全平方数，

行数

等号左边的项数

1=1

1

1

2+3+4=9

2

3

3+4+5+6+7=25

3

5

4+5+6+7+8+9+10=49

4

7

……

……

……

所以，

即

25.【解析】根据合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，可得=

26.962【解析】观察等式可知，的最高次的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列，故.取，则，，代入等式⑤得

，即(1)

取，则，，代入等式⑤得

即(2)

联立(1)(2)得，，所以=.

27.【解析】(1)记为排列的逆序数，对1，2，3的所有排列，有

，

所以.

对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置.

因此，.

(2)对一般的的情形，逆序数为0的排列只有一个：，所以.

逆序数为1的排列只能是将排列中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以.

为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将添加进原排列，在新排列中的位置只能是最后三个位置.

因此，.

当时，

，

因此，时，.

28.【解析】证明:(1)因为是等差数列，设其公差为，则，

从而，当时，

，

所以，

因此等差数列是“数列”.

(2)数列既是“数列”，又是“数列”，因此，

当时，，①

当时，.②

由①知，，③

，④

将③④代入②，得，其中，

所以是等差数列，设其公差为.

在①中，取，则，所以，

在①中，取，则，所以，

所以数列是等差数列.

29.【解析】(Ⅰ)用数学归纳法证明：

当时，

假设时，，

那么时，若，则，矛盾，故.

因此

所以

因此

(Ⅱ)由得

记函数

函数在上单调递增，所以=0，

因此

故

(Ⅲ)因为

所以得

由得

所以

故

综上，

高二推理证明复习范文第4篇

一、选择题

(1)若logab为整数,且loga1122>logablogba,那么下列四个结论①>b>a②logab+logba=0bb

③0

x1|>2且|x2|>2x1+x2x1+x2|<4x1|=4且|x2|=

1+(3)若x,y∈R,且x≠y,则下列四个数中最小的一个是() 11

)xy

(4)若x>0,y>0,且xy≤axy成立,则a的最小值是()

2(5)已知a,b∈R,则下列各式中成立的是()

22cos2sin2θ·lga+sinθ·lgb

222θsin2θθ·lga+sinθ·lgb>lg(a+bcos·b>a+b

+(6)设a,b∈R,且ab-a-b≥1,则有() ++b≥2(2+1) +b≤+b≥(2+1)2+b≤2(2+1)

二、填空题

22(7)已知x+y=1,则3x+4y2(8)设x=y,则x+y(9)若11≤a≤5,则a+5a(10)A=1+111与n(n∈N)2n

(11)实数x=x-y,则xy

三、解答证明题

2422(12)用分析法证明:3(1+a+a)≥(1+a+a)

(13)用分析法证明:ab+cd≤

a2c2(14)用分析法证明下列不等式:

(1)求证:71(2)求证:x1(3)求证:a,b,c∈R,求证:2(

+

x2x3x4(x≥4)

ababc)3(abc) 23

(15)若a,b>0,2c>a+b,求证:(1)c>ab;(2)c-c2ab2,求证:

+

1x1y

与中至少有一个小于yx

(17)设a,b,c∈R,证明:a+ac+c+3b(a+b+c)≥ (18)已知1≤x+y≤2,求证:

22

122

≤x+xy+y≤2

n(n1)(n1)2

an(19)设an=223n(n1) (n∈N),求证:对所有n(n22

*

∈N)2

(20)已知关于x的实系数二次方程x+ax+b=0,有两个实数根α,β,证明: (1)如果|α|<2,|β|<2,那么2|α|<4+b且|b(2)如果2|α|<4+b且|b|<4,那么|α|<2,|β不等式的证明训练题参考答案：

1.A2.B3.D4.B5.A6.A

*

7.58.-19.[2,

26

]10.A≥n11.(-≦,0)∪[4,+≦] 5

22

12.证明:要证3(1+a+a)≥(1+a+a)

222222222

只需证3[(1+a)-a]≥(1+a+a),即证3(1+a+a)(1+a-a)≥(1+a+a) ≧1+a+a=(a+

123)+>0 24

只需证3(1+a-a)≥1+a+a，展开得2-4a+2a≥0，即2(1-a)≥02422

故3(1+a+a)≥(1+a+a)13.证明:①当ab+cd<0时,ab+cd

②当ab+cd≥0时,欲证ab+cd≤acbd

2222

只需证(ab+cd)≤(a2c2b2d2)

展开得ab+2abcd+cd≤(a+c)(b+d)

2222222222222222

即ab+2abcd+cd≤ab+ad+bc+cd，即2abcd≤ad+bc

22222

只需证ad+bc-2abcd≥0，即(ad-bc)≥0

因为(ad-bc)≥0ab+cd≥0时,ab+cd≤a2c2b2d22

22222222

综合①②可知:ab+cd≤a2c2b2d214.证明:(1)欲证71 只需证()2(1)2

展开得12+235>16+2,即2>4+2 只需证(2)>(4+2)，即4>这显然成立

故71(2)欲证x1只需证x1即证(x1

x2x3x4(x≥4) x4x3x2(x≥4)

x4)2(x3x2)2(x≥4)

展开得2x-5+2x1x42x52x3x2 即x1)(x4)(x3)(x2)

只需证[x1)(x4)]<[(x3)(x2)]

即证x-5x+4

22

x1x2x3x4(x≥4)(3)欲证2(

ababcab)≤3(abc) 23

只需证a+b-2ab≤a+b+c-3

即证c+2ab≥3

+

≧a,b,c∈R，≨c+2ab=c+ab+ab≥3cabab3

≨c+2ab≥3abc15.证明:(1)≧ab≤(

ab222

)

(2)欲证c-c2ab

只需证-c2ab

只需证a(a+b)<2ac

≧a>0,只要证a+b<2c(已知)16.证明:(反证法):假设

1y1x1y1x

与均不小于2,即≥2,≥2,≨1+x≥2y,1+y≥2xyxy

两式相加得:x+y≤2,与已知x+y>2矛盾, 故

1x1y

与中至少有一个小于yx

17.证明:目标不等式左边整理成关于a的二次式且令 f(a)=a2+(c+3b)a+c2+3b2+32222

判别式Δ=(c+3b)-4(c+3b+3bc)=-3(b+c)≤0

222

当Δ=0时,即b+c=0,a+(c+3b)a+c+3b+3bc≥02

18.证明:设x=kcosθ,y=ksinθ,1≤k≤2

sin2θ) 2

13212222

≧sin2θ∈[-1,1]≨k≤k(1+sin2θ)≤k,故≤x+xy+y≤222

n(n1)2

19.证明:≧n(n1)n=n,≨an>1+2+3+…+n=

1223n(n1)2(12n)nn(n1)n又an

222222

≨x+xy+y=k(cosθ+cosθsinθ+sinθ)=k(1+

n(n2)n22n1(n1)2

,故命题对n∈N222

20.证明:依题设及一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)得:α+β=-a,αβ=:(1)(2)等价

于证明|α|<2,|β|<22|α+β|<4+αβ,且|αβ444

222222

441604()(4)244

2

(4)(4)0

44

2

4或24242444



2或24



22,2.

2

22