小波分析其基本数学思想都源于经典的调和分析, 小波变换是时间和频率的局域变换, 能更加有效的提取信号和分析局部信号。小波变换在用于图像处理时, 具有放大、缩小和平移的数学显微镜的功能, 能够很方便地产生各种分辨率的图像。同时, 由于小波变换可以将图像分层, 按小波基展开, 可以根据图像信号的性质和事先给定的处理要求确定需要展开到哪一级为止, 这样可以有效地控制计算量, 满足实时处理的需要。由于小波变换具有以上这些优点, 所以在图像处理领域获得了广泛的应用。在指纹识别处理过程中, 使用小波变换可以较准确的提取出指纹纹理特征。而且可以通过设定小波展开级数有效的控制计算量, 满足实时处理的需要。
1 小波理论分析
小波实际上是那些满足一定数学要求并能用之描述 (或逼近) 其他函数或信号的一些函数。小波分析过程就是采用小波原形函数, 或称为母波。分析小波对信号进行分析, 它是一种信号的时间一尺度 (时间一频率) 分析方法, 具有多分辨率分析 (Multiresolution Analysis) 的特点, 即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率, 在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。
1.1 连续小波变换[1]
所有小波是通过对基本小波进行尺度伸缩和位移得到的, 基本小波是一个具有特殊性质的实值函数, 它是振荡衰减的, 而且通常衰减得很快, 在数学上满足积分为零的条件, 二维连续小波基函数定义如式 (1) 所示, 其变换和逆变换如式 (2) 和式 (3) 所示。
1.2 离散小波变换[2~3]
在数值计算中, 尤其是在计算机上实现时, 连续小波必须加以离散化。因此, 有必要讨论连续小波和连续小波变换的离散化。
整个小波级数展开公式如式 (4) 所示。
二维离散小波变换是横向、纵向两个一维小波变换合成的结果, 它需要一个二维尺度函数ϕ (x, y) 和三个二维小波ψH (x, y) , ψV (x, y) , ψD (x, y) 。每一个都是一维尺度函数ϕ和ψ相应的小波函数的乘积。排除产生一维结果的乘积, 如ϕ (x) ψ (x) , 4个留下的乘积产生可分离尺度函数。如式 (5) 所示。
另外也可产生分离的“方向敏感的”小波, 如式 (6) , 式 (7) , 式 (8) 所示。
从一幅N×N的图像f (x, y) 开始, 其中上标指示尺度并且N是2的幂。对于m=0, 尺度2m=1, 也就是原图像的尺度。m的值每一次增大都使尺度加倍, 而使分辨率减半。在变换的每一层次, 图像都被分解为4个四分之一大小的图像 (尺度2m+1的低频部分和三个方向:水平、垂直、对角的高频部分) , 它们都是由原图与一个小波基图像的内积后, 再经过在行和列方向进行2倍的间隔抽样而生成。4个图像分别反映了低频, 垂直, 水平和对角线信息。对于第一个层次 (m=1) , 可写成式 (9) , 式 (1 0) , 式 (11) , 式 (12) 。
2 二维小波变换在指纹特征提取中的应用
小波变换是一种常用的图像分析手段, 并且在纹理识别中有较多的应用。由于指纹纹理结构是二维的, 所以使用二维小波变换做纹理分析非常适合。二维小波变换实质上是分别进行横向, 纵向, 以及对角的一维小波变换。对一幅图像进行完全的小波分解得到一系列的小波系数, 小波系数的形状和尺寸与原始图像相同。例如一幅16×16的图像经过三层小波分解, 可以得到10块小波分解结果, 一共256个系数。我们把这些小波分解系数构成的子图像称为小波分解通道[4]。一共有四种通道, LL, LH, HL, HH。每个通道表征了原始图像不同空间频率和方向下的信息。LL通道代表图像在水平低频和垂直低频下的信息, LH通道代表了图像在水平低频和垂直高频下的信息, HL通道代表了图像在水平高频和垂直低频下的信息, HH通道代表了图像在水平高频和垂直高频下的信息, 对指纹图像进行3次二维小波变换分解示意图如图1所示。
在用二维小波变换提取指纹特征时, 其提取特征的效果与选用的小波基有关。而小波基是滤波器的类型决定的。在考虑系统实时性的同时选用合适的小波基进行二维小波变换, 可以较好的提高指纹识别的速度和准确率。 (如图1图2)
3 基于小波变换的指纹特征提取和编码
作为一类特殊的图像, 指纹图像具有一些区别于其他图像的特点。
(1) 指纹图像由交替出现的脊线 (ridge) 和谷线 (valley) 组成。通常情况下, 我们认为脊线和谷线具有相同的象素 (piexl) 宽度, 因此, 从频域的角度来看, 指纹图像中的有用信息 (如纹线结构、细节特征等) 包含在一定的通带内, 而低频成分则相对图像的背景亮度。
(2) 指纹图像纹线的方向性对指纹的识别提供了重要的信息, 同时它又能为指纹图像的处理和压缩提供极大的方便。对于指纹图像的每一点, 都可以定义它的局部纹线走向, 所有点的方向信息组成了该指纹图像的方向图。
(3) 在实际应用中, 衡量指纹图像质量好坏的一个重要标准就是能否方便、准确地提取出指纹图像中用于识别的特征。从上我们可以看出, 小波变换有许多适合指纹图像的特点, 如对局部细节特征的表达能力, 二维小波变换所具有的方向选择性等。很多研究者率先将小波变换用于指纹图像处理中, 并取得了较好的效果。
下面我们介绍一下基于小波变换的指纹特征提取算法的具体步骤。
(1) 中心区域的分割。
这里的中心区域指的是指纹图像的待识别区域, 不同于很多使用全局指纹图片的指纹匹配方法, 我们只采用指纹图像的一块作为匹配区域。本文将中心区域定义为:以参考点为中心的大小为64×64的正方形区域, 与圆形区域相比, 这种区域更适合简化计算, 提高速度。要实现中心区域的分割, 首先要准确的检测参考点, 本文对参考点的定义为指纹的中心点。为了防止中心点的定位所带来的误差对我们考察这种基于小波分解的识别方法的影响, 在我们的实验中采用人为的方法提取中心点。对实验图像进行分割, 得到的中心区域如图2所示。当中心区域提取出来之后, 我们就可以根据参考点的对齐来对齐指纹图像的中心区域, 这在一定程度上解决了在指纹采集过程中产生的指纹图像间的位移误差。
(2) 中心区域的二维小波分解。
根据前面对小波和指纹图像性质的介绍, 我们知道利用小波变换能够提取指纹图像的特征信息, 利用提取出来的信息可以对图像进行分类识别。我们对指纹图像的中心区域a[m, n]进行J=4层小波变换, 得到3J+1=13幅子图[a r, {d j1, dj2, dj3}j=1, KJ]。其中ra是一个低分辨率的近似图像, djk是在不同尺度2j不同方向k上的细节子图。dj1, dj2, dj3的小波系数分别对应于垂直高频, 水平高频和对角高频分量。由于ra子图仅含有图像的低频信息, 而我们需要的是图像的细节信息即高频信息, 因此我们丢弃ra子图, 而对具有高频信息的djk细节子图的小波系数进行提取处理, 得到特征向量。
(3) 特征码的计算。
当图像在某一频率和方向下具有较明显的纹理特征时, 与之对应的小波通道输出就具有较大的能量。不同子带的能量提供了有关脊频率和脊方向的信息, 因此不同尺度和方向上的能量分布具有丰富的指纹分类信息。我们用这一系列小波通道的标准差来表示图像中的纹理特征。通道djk的标准差由下式给出式 (13) :
我们把4层小波变换总共12个细节子图{d j1, dj2, dj3}j=1, K4的小波系数的标准差组成一个表征这幅指纹图像的特征向量式 (14) 计算得到的特征向量对指纹图像具有重要的区分属性, 我们即是采用这些得到的特征向量对指纹图像进行分类识别的。为了简单的证明特征向量的区分特性, 我们对三幅指纹图像 (两幅同类图像和一幅不同类图像) 做4层小波分解并提取了长度为12的特征向量。为了便于观察, 我们把这些特征向量用灰度图表示, 同时也强调了每个特征分量的级数j和方向k, 如图3所示。可以看出在同类图像中提取的特征向量具有较高的相似性;而来自不同类指纹的指纹图像的特征向量具有较大的差异。
表1列举了图3所示的部份指纹图像经过4层小波变换后提取的特征向量, 更加直观的表现了同类指纹图片的特征向量的相似性和不同类指纹图片特征向量的差异性。
上面小波特征的提取是对整幅中心子图像做小波变换得来的, 没有很好的包含图像的局部细节信息。更好的方法是对指纹图像中感兴趣的中心区域分成互不重合的的分块, 对每块提取小波特征。在本文的实验中, 取, 即把指纹图像的中心区域分为大小的4块, 如图4图5。
对指纹图像中心区域的每个分块做4层小波变换, 如图5。A、B、C、D分别代表4个分块。从每个分块中提取12维的特征, 总共得到48维的特征向量, 它表征了这样一幅指纹图像。在指纹识别中, 对指纹图像的识别实际上就是对这个48维的特征向量进行识别。
4 结语
本文在基于小波分析中, 对小波进行了相应的论文分析, 根据小波相关特点, 我们进行了二维小波变换在指纹特征提取中的应用, 最后运用小波技术实现基于小波变换的指纹特征提取和编码。
摘要：本文针对图像处理领域准确提取出指纹纹理的问题, 将小波变换应用于图象指纹纹理提取处理。小波变换在用于图像处理时, 具有放大、缩小和平移的数学显微镜的功能, 能够很方便地产生各种分辨率的图像。同时, 由于小波变换可以将图像分层, 按小波基展开, 我们可以有效地控制计算量, 满足实时处理的需要。本文主要运用小波变换以上特点, 最后介绍如何使用小波变换提取指纹特征, 并构成一个特征向量表征指纹图像。
关键词：小波变换,指纹识别
参考文献
[1] 李建平, 唐远炎.小波分析方法的应用[M].重庆大学出版社, 1997:10～12, 17～30.
[2] 董自信.基于二维小波变换的虹膜识别算法研究[J].电子科技大学, 2006.
[3] 胡昌华, 李国画, 刘涛, 等.基于MATLAB6.X的系统分析与设计一一小波分析[M].西安电子科技大学出版社 (第2版) , 2002.
[4] 王蕴红, 朱勇, 谭铁牛.基于虹膜识别的身份鉴别[J].自动化学报, 2002, 28 (1) :1～10.