经典数字滤波器有分为IIR和FIR数字滤波器, IIR和FIR数字滤波器的设计方法有很大的差异, 本论文主要对IIR数字滤波器的有关算法进行研究。
数字滤波器的设计就是构造满足给定技术指标的数字硬件或程序 (软件) 的过程。设计从技术指标开始, 包括四个基本步骤;函数逼近、电路实现、缺陷分析和产品实现。所谓函数逼近, 就是用一个因果稳定的系统函数去逼近给定数字滤波器的性能要求。对于给定技术指标的IIR数字滤波器, 常见的函数逼近有巴特沃斯 (Butterworth) 、切比雪夫I (Chebyshew) 、切比雪夫 (Chebyshew) Ⅱ、椭圆 (elliptic) 等逼近函数。其中巴特沃斯 (Buterworth) 、切比雪夫I (Chebyshew) 、切比雪夫Ⅱ (Chebyshew) 的理论和逼近算法都被大家所熟悉或掌握, 同时又由于人们长期对模拟滤波器的研究已经形成了很多简单有效的逼近算法和严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用, 所以在实际的工程中应用较多而椭圆 (elliptic) 逼近算法在实际工程中极少应用, 但是椭圆逼近算法在相同技术指标下具有最小阶数, 从而可以使得数字滤波器获得就较为经济的解决方案, 而且它们的系数可以用闭合的公式计算。因此也在工业中有着教大的应用价值, 本文将利用MATLAB作为计算工具, 将椭圆逼近法和传统的几种函数逼近法进行比较, 研究椭圆逼近法的优势所在。
MATLAB是美国MathWork公司开发的用于概念设计、算法开发、建模仿真、实时实现的理想的集成环境。MATLAB的信号处理工具箱包含了各种经典的和现代的数字信号处理技术, 是一个非常优秀的算法研究与辅助设计的工具。在设计数字滤波器时, 我们可以利用MATLAB的滤波器设计工具软件FDATool (Filter Design&Analysis Tool) , 在指定位置输入设计参数, 可快速设计出所需的数字滤波器以及滤波器的性能分析。
FDATool (Filter Design&Analysis Tool) 是MATLAB信号处理工具箱里专用的滤波器设计分析工具, MATLAB6.0以上版本还专门增加了滤波器设计工具箱 (Filter Design Toolbox) 。FDATool可以设计几乎所有的常规滤波器, 包括FIR和IIR各种设计方法。
FDATool界面共分两大部分, 一部分是Design Filter, 在界面的下半部分, 用来设计滤波器的设计参数;另一部分则是特性区, 在截面的上半部分, 用来显示滤波器的各种特性。Design Filter部分主要分为滤波器 (Filter type) 类型选项, 包括Lowpass (低通) 、Highpass (高通) 、Bandpass (带通) 、Bandstop (带阻) 和特殊FIR滤波器。
Design Method (设计方法) 选项, 包括IIR的巴特沃斯 (Buterworth) 、切比雪夫I (Chebyshew I) 、切比雪夫Ⅱ (ChebyshewⅡ) 、椭圆 (elliptic) 法和FIR滤波器设计法、Least-Squares (最小二乘法) 、Window (窗函数法) 。Filter order (滤波器阶数) 选项, 定义滤波器的阶数, 包括Specify order (指定阶数) 和Minimum Order (最小阶数) 。在Specify order中填入所需要设计滤波器的阶数 (N阶数滤波器, Specify order=N-1) 。如果选择MinimumOrder, 则MATLAB根据所选择的滤波器类型自动使用最小阶数。
Frenquency Specifications选项, 可以详细定义频带的各参数, 包括采样频率fs和频带的截止频率。它的具体选项由Filter Type选项和D e s i g n M e t h o d选项决定, 例如Bandpass (带通) 滤波器需要定义Fstopl (下阻带截止频率) 、Fpassl (通带下限截止频率) 、Fpass2 (通带上限截止频率) 、Fstop2 (上阻带截止频率) , 而Lowpass (低通) 滤波器只需要定义Fstopl、Fpassl。采用窗函数设计滤波器时, 由于过渡带是由窗函数的类型和阶数所决定的, 所以只需要定义通带截止频率, 而不必定义阻带参数。Window Specifications选项, 当选取采用窗函数设计时, 该选项可定义, 它包含了各种窗函数。
在此给定一个有关IIR的椭圆低通数字滤波器。设计技术指标是通带截止频率Fp=190Hz, 阻带截止频率FS=200Hz, 通带内衰减αp=1.0dB, 阻带内衰减为αs=80dB。
在FDATool界面中, 选择滤波器类型IIR低通滤波器, 设计方法为椭圆 (elliptic滤波器, 滤波阶数 (Filter order) 选项Minimum Order (最小阶数) , FS=1KHz, Fpass=190Hz}Fstop=200Hzαp=1.0dBαs=80dB, 最后点击图中Design Filter, 设计出数字滤波器的幅频特性, 再点击幅频和相频分析图标, 可以得到椭圆低通滤波器幅频和相频特性分析曲线。
按照IIR椭圆函数滤波器的参数设置的方式且设计指标一致的要求下, 分别进行巴特沃斯 (B u t e r w o r t h) 、切比雪夫I (Chebyshew I) 、切比雪夫Ⅱ (ChebyshewⅡ) 数字滤波器的设计, 对它们进行幅频、相频、特性进行分析可以得出以下四点结论, 对于频率f0言, 巴特沃斯 (Buterworth) 逼近是平坦而单调递减, 它在ω=o时为最大平坦。
切比雪夫I型逼近, 在整个通带内具有最小的纹波, 在阻带随频率单调递增。
切比雪夫Ⅱ型逼近在通带内对频率平坦而单调递增, 与巴特沃斯逼近一样, 在它在}=0时为最大平坦。但是该逼近在整个阻带内的纹波最小。
椭圆函数逼近 (elliptic) 在整个通带和阻带内都具有最小纹波。
由上面的分析可以看出, 在同一技术指标下, 采用不同的四种逼近函数后得到的滤波器的阶次和组成结构, 其中椭圆函数逼近的阶次最少, 组成结构最简单。数字滤波器的实现阶数最少。最小阶数使数字滤波器的解决方案最经济 (元器件数最少、乘法器最少等) 。
摘要：本文针对一给定参数的数字低通滤波器, 利用MATLAB作为工具, 采用椭圆函数逼近的方式予以设计实现, 并将其仿真结果和其他几种常用的函数逼近方式设计的数字滤波器的仿真结果进行了比较, 得出了椭圆函数逼近实现低通滤波的优势所在。
关键词：IIR滤波器,椭圆逼近算法,仿真,MATLAB
参考文献
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