1 培养求简意识, 激发学生对构造法的兴趣, 调动其运用构造法的积极性和主动性
构造法是一种新颖独特、简捷快速、灵活变通的解题方法, 这些特点, 特别是简捷的特点会大大提高学生求知的欲望, 他们有一种跃跃欲试的苛求, 但却无从知道什么样的问题适合用构造法, 如何构造?这就需要教师培养学生的求简意识, 当碰到一些用常规方法解决较繁的时候, 能否打破常规, 另寻一种简单可行的方法, 使问题简化解决, 这种意识的形成要求教师注意平日讲解题目时用尽可能多的方法去解决, 并对各种方法的优缺点加以比较, 让学生理解并掌握最简的求解方法, 从而在解题中逐步养成一种繁题求简的习惯和意识, 为构造法的运用奠定基础。
2 培养联想——类此思维能力, 是用构造法解题成败的关键
联想思维是创造思维的翅膀, 牛顿看到苹果掉地, 发现万有引力定理;爱因斯坦想象与光速赛跑, 发现广义相对论;哥尼斯堡由七桥问题联想到一笔画问题为图论的创立奠定了基础。这类运用联想思维成功的例子举不胜举, 运用构造法解题的关键环节在于构造与题目有关的数学模型, 这里的构造离不开联想思维, 她在其中起着桥梁和纽带的作用, 联想思维是发散思维和思维迁移的一种表现形式, 它常与类比思维结合形成联想—类比思维。这是创新思维最重要的、不可缺少的思维形式。构造法解题过程中由题目的特征挖掘隐含条件, 由一种形式联想到另一种形式, 通过类比找到这种新形势对问题解决的可行性, 从而达到构造的目的。教师一定要重视对学生这种思维能力的培养。例如对于要解决的问题, 在认真审题, 弄清题意的基础上, 引导学生进行广泛而丰富的联想:所给问题你过去是否见过或求解过?是否类似于你所熟悉的某一问题?是不是你过去求解过的某一问题的变形?能否转化为你所熟悉的某一问题?或转化为较易求解的问题?这是个代数问题, 能否用几何问题求解?通过这样步步深入的联想, 往往可找到一个类比问题, 最后进行分析比较, 便可能找到解决问题的途径。根据问题的具体情况, 一般可以从三个方面去联想: (1) 联想有关的概念、定义、定理、公理、公式、法则、图形等; (2) 联想已知的或过去求解的类似问题或有关问题; (3) 联想熟悉的解题方法、解题技巧。
例如:证明cauchy不等式:设a1, a2, ...an;b1, b2, ...bn都是实数则:
要证明不等式只需证明B2-AC≤0。
联想学过的知识, 它与判别式“△”相似, 即只需证 (2 B) 2-4AC≤0。
因此构造二次函数。
只需证明f (x) ≥0即可。
而恒成立, 所以原不等式成立。
3 加强其它数学方法的运用, 为运用构造法奠定基石
构造法是一种基本的数学方法, 而不是某些特定情况下的一招一式, 有时候很难把构造法与其它数学方法截然分开, 它们是相互结合、交叉的, 只有在熟练掌握其它基本的数学方法的基础上才能更有效的学会并运用构造方法, 诸如构造函数、构造方程、构造图形、构造整体、逆向构造等等, 分别是函数思想、方程思想、数形结合、整体思想、逆向思维等数学思想的体现。可见只有全面加强数学方法的教学才能有效地运用构造法解题。例如, 前面举过的许多构造法解题的子同时运用了数形结合的方法, 在中学数学中这两种方法经常是相互结合的。在数形结合思想方法的教学中要特别重视下列四个意识的培养。
(1) 转化意识的培养。华罗庚曾说过:“数缺形时少直观, 形少数时难入微”这是对数形结合思想价值的最精辟的概括。学生只有深刻领悟数形结合思想价值所在, 才能自觉运用数形结合思想解决问题。因此, 教师在教学中有意识地引导学生, 使他们学会对各种问题做出合理的几何解释, 养成用图形研究数与式的习惯和数形结合解题的意识。 (2) 等价意识的培养。由于数形结合思想实际上是数形信息与图形信息的一种相互转化和有机结合, 因此在运用数形结合思想时, 要注意数形转化的等价性, 特别是在化数为形时要根据题目的要求作出确切的图形, 千万不能仅仅考虑图形直观性而忽视图形的精确度。 (3) 简化意识的培养。运用数形结合思想的目的是“化繁为简”、“化难为易”。当数形转化的方式不唯一时, 我们应该有强烈的简化意识, 选择最简化的转化方式。 (4) 动态意识的培养。在数学世界里量与量、形与形、量与形之间常常呈现出运动变化的依存关系, 这就要求我们在运用数形结合思想解题时, 能以一种动态的眼光来看待静止的画面, 并通过操作和观察来深刻领会其中的动态依存关系。
例如:已知关于x的方程|x|=ax+1|仅有一个负根, 求a的取值范围。
分析与解答;构造函数y1=|x|, y2=ax+1作草图, 如图1所示, 由图1可知;a≥, 1在图中我们必须要让直线y2=ax+1绕定点 (0, 1) 进行旋转, 通过对旋转过程的观察才能得到正确的结论。当然, 学生完全可以通过想象来完成这种操作的试验。
4 培养有关的数学思维方式, 渗透构造思想
构造是一种很活跃的创造性思想, 它能沟通数学各个不同的分支, 甚至还沟通数学与其它学科, 实现跨度极大的问题转化, 这是一种难度大、规律不易掌握的高层次思维方法。因此需要调动各种数学思维方法共同参与, 才能完成这种构造性的转化。利用构造思想解题时要结合直觉、联想、猜想、类比、观察、分析、抽象、概括等多种数学思维方法, 利用各部分知识的内在联系和性质或形式的某种相似性, 有目的的构造数学模型。教师在教学中注意各种思维方法和思维能力的培养, 从而使学生在解题中能有效地利用各种思维方法, 创造性地解决问题。
摘要：解题的过程就是一个不断把“未知”转化为“已知”的过程, 这里的转化是解题的关键。构造法作为一种重要的化归手段, 在数学解题中起着重要的作用。纵观近几年高考试题与竞赛中的许多题目都要用构造法解决, 但在农村中学, 由于学生基础薄弱, 许多教师对难度较大的解题方法总是一味包办代替。很大程度上扼制了学生在解题中对解题方法的探究。用构造法解题更是一大难点, 为了突破这一难点, 本文总结了几点关于高中数学解题中运用构造法的措施, 使学生在解题中能够有效的利用构造法, 创造性的解决问题。
关键词：构造法,培养,联想,思维方法
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