圆的面积优秀教案范文

圆的面积优秀教案范文第1篇

《圆的面积》

重庆市石柱师范附属小学校——向敏

教学内容：九年义务教材第十一册115-116页《圆的面积》

教学目的：

1、理解圆的面积的概念。

2、理解并掌握圆的面积计算方法，会运用圆面积的计算方法解决实际问题。

3、培养学生发散思维的能力。

4、培养学生发现问题、解决问题和运用所学知识解决实际问题的能力。

教学重点：使学生理解圆面积的推导过程。

教学难点：使学生通过操作推导出圆面积的计算方法。

教具准备：自制课件;实物投影;微机。

学具准备：《小学数学学具》中的圆面积计算公式操作图片;剪刀;直径10厘米的圆片每小组一张。

教学过程：

一、导入新课

课件出示一段优美的配乐画面，让学生边欣赏边观察从中找出最与众不同的图形。

画面欣赏完后，教师提出问题：“你认为哪一种图形是最与众不同的? 1

为什么?”

先让学生发表自己的看法，学生说出圆后，教师进一步问：“你对

圆有哪些认识?”让学生回顾所学的有关圆的一些知识。

教师：“你还想了解有关圆的哪些知识?”引导学生提出问题。

导入语：“大家提到的这些问题，我们将在以后的学习中逐渐学习到，

今天我们重点来研究圆的面积。”(板书课题)

二、新课

1.理解圆的面积的概念。

教师：“你认为什么是圆的面积?用自己的话说一说。”多找几位

同学说，引导学生说的准确、完整。让学生在已有的基础上，理解圆

的面积的概念。学生明确后，教师强调：“圆所占平面的大小叫做圆

的面积。”

2.推导圆面积的计算方法。

(1)教师：“想一想，平行四边形、三角形和梯形的面积计算方法

我们是怎样推导出来的?”

引导学生回顾是把它们转化成已学过的图形来推导它们的面积计

算方法的，用的是转化法，同时明确我们也可以把圆转化成已学过的

图形来推导它的面积计算方法。

(2)课件出示讨论交流题目：请大家小组合作利用手中的材料和

工具想办法推导出圆的面积计算方法，把推导过程展示、记录在长方

形纸板上。

学生明确要求后，小组合作用各种方法推导圆的面积计算方法，

并在小组内交流各自的想法，陈述整个推导过程。

教师深入各个小组了解他们的讨论情况，及时与他们交流，当他

们用一种方法推导出来后，引导他们想想还有没有别的方法，留给学

生充足的交流时间，让他们的思维得到充分发挥。

(3)反馈学生学习结果;总结圆面积的计算方法。

教师：“哪个小组愿意把你们的方法介绍给大家?同学们可以向他们

提出你不明白的问题。”

请几个小组的学生把他们的讨论结果用实物投影展示出来并说明

自己的推导过程;其他同学向他们提出不明白的问题。

学生可能会把圆转化成近似的长方形、平行四边形、三角形、梯形来

推导圆的面积计算方法，让学生把他们想到的这些方法都展示出来，

展示完后，让学生从中找出最简便的一种方法——把圆转化成近似的

长方形。

课件演示三种把圆剪拼成近似的长方形，有8等份的、16等份的

和32等份的，边演示边让学生观察“把圆平均分成多少份拼成的图

形最接近于长方形?”

从而得出一个结论：把圆平均分的份数越多，拼成的图形就越接近于

长方形。

课件演示：拼成的近似长方形的长就是圆周长的一半，宽就是圆

的半径，因为长方形的面积=长×宽，因此，圆的面积=圆周长的一半

×圆的半径。从而进一步推导出圆面积的字母公式。

教师问：“现在要求圆的面积，你需要知道什么条件?”

使学生明确已知圆的周长、半径或直径都可以求圆的面积。

2.面积公式的应用。

课件出示例题，学生独立完成，做完后，找同学说一说是怎样做

的，课件出示正确答案。

三、课堂练习

1.判断：

(1)半径为2分米的圆，它的周长和面积相等。()

(2)大、小两圆的半径比是5:4那么它们的面积比是5:4。()

(3)圆的直径越大，它的周长越长，面积也越大。()

2.求下面圆的面积。(学生口头列式计算)

3.求阴影部分面积。(单位：厘米)

4.教师给每个小组一张直径10厘米的圆形纸片，让学生大胆猜

想它的面积大约有多大?

学生猜几个数据后，教师：“它的面积到底是多少呢?请你们小组合

作想办法来验证一下。”

学生能通过测量直径或半径，再计算出圆片的面积来验证自己猜的是

否准确。

四、小结

教师：刚才咱们研究的内容就在课本115-116页，请大家边看书

边回顾，这节课你学到了什么知识?

板书设计：

圆 的 面 积

长方形的面积=长×宽

圆的面积=圆周长的一半×半径

S=(2πr÷2)× r

=πr × r

=πr

2教学反思：

圆的面积是最基本的平面图形，圆的面积这一课是在学生掌握了面积的含义及长方形、正方形等平面图形的面积计算方法，认识了圆，会计算圆的周长的基础上进行教学的。本课时的教学设计，我特别注 意遵循学生的认知规律，重视学生获取知识的思维过程，重视从学生的生活经验和已有知识出发学习数学，理解数学。在这节课的教学中，一开课我们进行复习，复习时我先让学生回忆一下以前学过的平面图形的面积计算公式的推导方法，并利用多媒体课件直观再现推导过程，学生在回顾旧知识的过程中领悟到这些平面图形面积的推导都是通过切、割、拼的方法，把要学的图形转化成已经学过的图形来推导的，从而渗透转化的思想，并为后面自主探究 “能不能把圆转化为以前学过的图形来计算本课时教学的重点是圆的面积计算公式的推

圆的面积优秀教案范文第2篇

【教学内容】

人教版九年义务教育六年制数学第十一册《圆的面积练习课》。

【教学理念】

精讲是基础，还需精练，只有精讲精练相结合才能达到最优的教学效果，而精练在选择有代表性的练习内容基础上还要进行科学的指导，有效的订正，才能使我们的练习达到真正的效果。

【教学分析】

教材在强调学生掌握圆面积的计算公式的基础上，尤其关注到解决实际问题的练习，在解决问题的过程中，加深对于求圆面积的知识的掌握。在面对众多的数据和文字当中，理清楚数据之间隐含的数量关系，明确解题的目标和思路，从而确定解题方法，其中着重练习给出周长求面积的训练。

学生通过上节课的学习，对于给出半径求面积已经有了比较好的认识，并且能够准确的列出算式并计算。同时对于给出周长求半径也有了一定的认识，但并不熟练，同时计算能力还需加强。

【教学目标】

1、在解决简单问题的过程中，进一步巩固圆的面积公式，自主探索已知圆的周长计算圆面积的方法。

2、进一步体会在解决实际问题的过程中把圆的面积和周长公式进行比较，提高灵活应用公式解决问题的能力。

3、进一步体验数学与生活的联系，感受用数学的方式解决实际问题的过程，提高学习数学的兴趣。

【教学重难点】

教学重点：进一步巩固圆的面积公式，能够根据圆的周长计算圆的面积。

教学难点：会根据圆的周长求圆的面积，正确的计算。

【教学课时】1课时 【教学课型】练习 课 【教学过程】

一、创设问题情境

小明家新置了一个圆桌，妈妈让他去配一个与桌面相同大小的玻璃桌面。这把小明难住了，这圆桌面有多大呢?我要配的玻璃桌面又该多大呢?

师：同学们，你们能帮助小明解决他的问题吗? 学生讨论，得出结论：

1、要求圆桌面的大小就是要求桌面的面积，也就是求圆的面积。

2、所要配的玻璃面的面积也就是求圆的面积。

3、要求圆的面积必须知道一定的条件：如半径、直径、或圆的周长等。 师：如果这些条件妈妈都没有告诉小明，小明能完成妈妈交给的任务吗?你们能帮助他吗?

学生讨论，并充分发言。

讨论后统一认识：可以用测量的方法计算出这个圆形桌面的面积。

【教师创设问题情境诱导学生提出疑问，鼓励学生自主探索，去发现问题，大胆思考。】

二、课堂练习

1、根据已知条件求圆的面积 (1)R=5cm (2)d=8dm (3)c=18.84dm 先独立完成 再集体订正

小结：计算圆面积时应注意什么?

2、北京天坛公园的回音壁是闻世界的声学奇迹，它是一道圆形围墙。 这个圆的直径约为65.2米，计算这圆的周长与面积分别多少? (保数保留一位小数) 了解题意，后独立完成。

小结：在已知直径求圆的周长和面积时应注意什么?

3、有一个圆形蓄池，它的周长是31.4米它的占地面积是多少? (1)分析题意：已知什么求什么? (2)已知周长求面积要经历哪几个步骤? 周长—直径—半径—面积 (3)注意单位名称的变化。

三、深入探究

1、出示107页第

3、4题

(1)这两题的题目有什么相同之处?有什么不同之处? (2)计算过程有什么相同之处?有什么不同之处? 师板书计算过程。

(3)求圆面积的过程中，应该注意哪些问题

【设计意图：通过对比，让学生进一步理解已知周长求面积的方法。】

2、出示第5题

(1)什么叫占地面积?

(2)天坛的面积指什么?周长指什么?通过举例加以说明。 (3)做这一题你希望提醒同学注意些什么?

【设计意图：理解占地面积，让学生增强求圆的面积在现实生活中的应用能力。】

四、达标练习

1、填空题。

(1)把一个圆分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形。这个长方形的长相当于( )，长方形的宽就是圆的( )。因为长方形的面积是( )，所以圆的面积是( ).

(2)圆的直径是6厘米，它的周长是( )，面积是( )。

(3)圆的周长是25.12分米，它的面积是( )。 (4)甲圆半径是乙圆半径的3倍，甲圆的周长是乙圆周长的( )，甲圆面积是乙圆面积的( )。

(5)一个圆的半径是8厘米，这个圆面积的3/4 是( )平方厘米。

(6)周长相等的长方形、正方形、圆，( )面积最大。

2、应用题。

(1)有一只羊栓在草地的木桩上，绳子的长度是4米，这只羊最多可以吃到多少平方米的草?

(2)一种手榴弹爆炸后，有效杀伤范围的半径是8米，有效杀伤面积是多少平方米?

(3)一种铝制面盆是用直径30厘米的圆形铝板冲压而成的，要做1000个这样的面盆至少需要多少平方米的铝板?

(4)一张长30厘米，宽20厘米的长方形纸，在纸上剪一个最大的圆。还剩下多少平方厘米的纸没用?

3、一个圆的周长是25.12米，它的面积是多少: 已知:C=25.12米 求:S=? r=25.12÷(2×3.14) S=πr2 =4(米) =3.14×42 =50.24(平方米) 【设计意图：通过练习，进一步巩固对于圆面积的计算方法。】

五、拓展延伸

通过今天这一节课的学习，你又有什么收获?

【设计意图：整理整节课的学习内容，让学生进一步加深已知直径、周长求圆面积的方法。】

莲塘小学

2010年12月1日

正、反比例应用题(练习课)

[日期：2007-05-19]

来源：谢朝霞 作者：徐舍小学

[字体：大 中 小]

正、反比例应用题(练习课)

徐舍实验小学 谢朝霞

教学目标：帮助学生进一步巩固正、反比例的意义，理顺量与量的对应关系，提高判断和解答正、反比例应用题的能力，灵活把握及转化应用题的数量关系，加深知识的纵向联系，横向沟通。

教学重点：进一步掌握正、反比例关系的意义。 难点：正确应用比例知识解答基本的正、反比例应用题。 教学过程：

第一层次，基本性应用练习的设计

1、判断下面每题中的两种量成什么比例关系。 (1)、一个因数一定，积和另一个因数;

积一定，一个因数和另一个因数。 (2)、平行四边形的面积一定，它的底和高。 (3)、货物的总吨数一定，每次运货的吨数和次数。 (4)、每袋茶叶的千克数一定，茶叶的总千克数和袋数。 (5)、拖拉机每天耕地的公顷数一定，耕地总面积和天数。 问：判断两种相关联的量成什么比例，我们关键是看它们的什么?

2、揭题

我们可以应用比例知识解答相应的应用题，这节课，我们联系正、反比例应用题。 出示：正、反比例应用题(练习课)

3、根据已知条件，将题目补充完整，使之成为用正或反比例解答的应用题，并列式。(口答) (1)、同学们做广播操，每行站15人，站了12行,( )? (2)、100克海水可以晒出3克盐，照这样计算，( )?

4、对比练习：

(1)解放军战士刘刚从兵营骑马去马场，每小时行60千米，要3小时到达。如果每小时行72千米，几小时可以到达马场?

(2)解放军战士刘刚从兵营骑马去马场，3小时行180千米，照这样计算，5小时行多少千米? (1)读题

(2)师：现在我们运用比例知识来解答这两道题，首先看第一题，请同学们找一找数量之间有怎样的关系式?两种相关联的量成什么比例关系? 逐步出示数量关系式——对应关系——列出等式。 (3)按照第一题的讨论方法思考第二题。

(4)比较：正、反比例应用题解题过程有什么相同的地方?解题方法有什么不同? (5)小结。板书： 判断比例关系

找出对应数值

列出等式解答

5、只列式不计算：(用比例知识解，写清解设……)

(1)读一本故事书，小红每天读25页，要读12天;如果要10天读完，每天应读多少页? (2)用同样的砖铺地，铺18平方米要用618块砖;如果铺24平方米，要用多少块砖? (3)一间房子要用方砖铺地，需要用面积是9平房分米的方砖96块;如果改用面积是4平房分米的方砖要多少块?

(4)安装一条下水管道，15天安装了120米;照这样计算，20天能安装多少米? (5)100克蜂蜜里含有34.5克葡萄糖;照这样计算，1.5千克蜂蜜里含有多少千克葡萄糖?

第二层次，综合性应用练习的设计。

1、解决生活中的问题

把1.5米长的竹竿直立在地上，量得它的影长是1.2米，(1)同时量得学校旗杆的影长是6.4米，学校旗杆高多少米?(2)量出自己身边一个物体的高度,你能不能求出它的影长?

2、知识间的联系

两个底面半径相等的圆柱,第一个圆柱的高是第二个圆柱的高的 。第二个圆柱的体积是60立方分米，第一个圆柱的体积是多少?

问：“ 第一个圆柱的高是第二个圆柱的高的 ”还可以怎么说?

思考：当两个圆柱底面积相等时，(1)圆柱体积与高成什么比例?(2)两个圆柱体积的比与对应高的比有怎样的关系?为什么?

你能有几种方法解答?

说明：按照分数与比之间的联系，有些应用题可以用分数和比例知识采用不同的方法解答。

3、变式训练，加深拓宽

(1)选择正确的解法：仪器厂现有5台机器，每天可生产1800个零件;如果用8台同样的机器，每天可生产零件多少个? A.8X X=1800X5 B.1800:5= X:8 同桌讨论：(1)为什么选择B?(2)用A解为什么是错误的?(3)它是什么关系的应用题? (2)如果将上题改成“……如果再增加8台这样的机器……”，求每天可生产零件多少个? (3)改上题问句为“每天可多生产零件多少个?”

(4)假如把上题条件再改为“……用8台这样的机器，每天可多生产零件多少个?” 第三层次，创造性应用练习的设计。

一辆汽车从甲地开往乙地，按每小时40千米的速度，要行驶7.5小时;实际3小时行驶了150千米，这样行驶完全程要几小时? 学生先独立思考列式，然后指名反馈。 同桌学生讨论各个算式。 师生集体讨论。

2、在含有铅375克和锡 237克的合金中,增加铅多少克,可使铅与锡的比为5:3?

圆的面积优秀教案范文第3篇

这两周我班同学正在学习怎样求圆的周长和面积，这一部分计算公式很多，计算很麻烦，所以，公式已经相当混淆，从《数学状元》学生练习情况看，计算的正确率比较低。这让我比较头疼。 细细思量：

仔细查阅学生的作业，发现这样那样的问题如下：

1、有的同学对圆的周长和面积公式有点混淆。明明知道是求面积，可是却去求周长，自己还不知道错了。

2、有的同学在计算某数的平方时，如3的平方，应该是3乘3，可总有同学写成3乘2.

3、学生在计算碰到3.14时，不能灵活计算，一般把3.14放到最后去乘，比较容易计算，而不灵活的同学不管那一套，3.14写在哪里就乘在哪，计算花费时间比较多，也不正确。

4、有的同学在解答这部分知识时，列出综合算式，但是解答时步骤省略，计算的问题就尤为突出。 解决途径：

发现了问题，我赶紧要想出方法进行补救，不能让这种状态持续下去，我是这样做的：

1、重视公式的推导过程，加强公式的记忆，强化不同公式的区别，先从公式上打好基础。

2、在做这方面习题时，先把公式摆上，然后再列式，这样的好处是让学生好好思考到底需要哪个公式，避免出错误。

3、让学生记住3.14乘以1，3.14乘以2，3，4„„的结果，这样能提高计算的速度和质量。

4、让学生在列式解答时，计算步骤不能省略，每一步求出的结果表示哪个量，用汉字标出来，一步步算出结果，这样才能避免学生出错。

5、对常见的类型题，总结公式，让学生套用公式。如半圆的周长计算：C=πd÷2+d 或C=πr+2r 圆环的面积计算：S=π×(大圆半径的平方-小圆半径的平方)，环形跑道的周长=圆的周长+两个长 面积=圆的面积+长方形的面积 写在结尾：

圆的面积优秀教案范文第4篇

【课

题】圆的一般方程 【教学目标】

1、知识目标：(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心和半径，掌握方程x2y2DxEyF0表示圆的条件;

(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程。

(3)利用圆的方程解决与圆有关的实际问题。

2、能力目标：通过对方程x2y2DxEyF0表示圆的条件的探索，培养学生探索、发现及分析解决问题的实际能力。

3、情感目标：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。

【教学重点】圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间互化，根据已知条件确定方程中的系数D、E、F。

【教学难点】对圆的一般方程的认识、掌握和应用。 【教学方法】讲授法，分析法。 【教学用具】多媒体辅助教学 【教学流程】

一、情景创设 问题1：

在平面直角坐标系中，以C(a,b)为圆心，r为半径的圆的方程是什么?

1 问题2：

将圆的标准方程展开整理后，能发现哪些特征?(寻找新知识的生长点)

结论：(多媒体显示)

将(xa)2(yb)2r2 展开得x2y22ax2bya2b2r20，我们发现任何圆都能表示为一个具有以下特征的x,y的二次方程：

(1)x2和y2项的系数同为1;

(2)不出现交叉乘积的二次项xy。

问题3：

x2y22x4y60是圆的方程?若是，写出圆心坐标和半径;若不是，则说明理由

二、探索研究

二元二次方程x2y2DxEyF0表示圆的条件是什么?

(创设一种鼓励的宽松的氛围，让学生充分发表自已的观点，教师适当引导。)

二元二次方程x2y2DxEyF0，通过配方后可以化为

D2E2D2E24F (x)(y)

224(1)当D2E24F0时，方程表示以(为半径的圆;

DE1,)为圆心，D2E24F222(2)当D2E24F0时，方程表示一个点(DE,); 22(3)当D2E24F0时，方程没有实数解，因而方程不表示任何图形。 板书：圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)

2 指出：(1)圆心(DE1,)，半径D2E24F; 222 (2)圆的标准方程的优点在于它明确指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点;

(3)给出圆的一般方程，会写出它的圆心和半径;若给出相关条件，则能求出圆的方程。

三、应用举例

例

1、判断下列方程是否表示圆，如果是，并求出各圆的半径和圆心坐标：

(1)x2y26x0;

(2)2x22y24x8y120;

(3)2x22y24x8y100; (4)x2y26x100;

(5)x22y24x8y10。

(解略)

例

2、求以O(0,0),A(1,1),B(4,2)为顶点的三角形的外接圆方程，并求出它的圆心和半径。

(分析：应用圆的一般方程x2y2DxEyF0，将已知三点的坐标代

入这个方程，得到一个三元一次方程组，解这个三元一次方程组，即可求得

圆的一般方程，对圆的一般方程配方即可求半径长和圆心坐标。同时，将这

种求圆的一般方程的方法称为“待定系数法”。)

四、课内练习

1、判定下列方程中，哪些是圆的方程?如果是，求出它们的圆心和半径：

(1)2x22y24x50;

(2)x2y23x4y120;

3 (3)x22y24x2y50;

(4)x22y24x2y1;

(5)3x24xy(x2y)24

2、求过三点A(2，2)，B(5，3)，C(3，-1)的圆的方程。

五、课内拓展

若圆x2y2DxEyF0与y轴相切于原点，则D，E，F应满足什么条件?若圆与y轴相切呢?

学生讨论，各抒已见，相互补充，完善结论。

我们还可以继续探究：如当圆与x轴相切;过原点;原点在圆内;等等情况时，系数D、E、F应满足的条件。

八、归纳小结

(教师引导，由学生总结一节课的收获，然后显示幻灯片同时教师总结。)

五、布置作业

(1)课堂作业：《数学指导用书》第25页课外习题1(1)(2)(3)(4)、

2、4。 (2)课外作业：《数学指导用书》第26页课外习题

5、

圆的面积优秀教案范文第5篇

24.2 圆的基本性质(1)

【教学内容】圆的两种定义、弦、弧等概念 【教学目标】 知识与技能

明确圆的两种定义、弦、弧等概念，澄清“圆是圆周而非圆面”、“等弧不是长度相等的弧”等模糊概念。 过程与方法

通过观察、比较、分析，发展学生的合情推理能力和演绎推理能力。 情感、态度与价值观

在观察、比较、分析中，激发学生的好奇心和求知欲。 【教学重难点】 重点：“圆是圆周而非圆面”、“等弧不是长度相等的弧” 等模糊概念

难点：“圆是圆周而非圆面”、“等弧不是长度相等的弧” 等模糊概念

【导学过程】 【知识回顾】

1、举例说出生活中的圆。

2、你是怎样画圆的?你能讲出形成圆的方法有多少种吗? 【情景导入】

自学课本，思考下列问题：

1.分别用不同的方法作圆，标明圆心、半径，体会圆的形成过程。 2.圆的两个定义各是什么?

3.弄清圆的有关概念?怎样用数学符号表示?

【新知探究】 探究

一、

1、 车轮为什么做成圆形的?

2、为什么说“直径是圆中最长的弦”?试说说你的理由.

3、什么是弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧、优弧、弧劣?

4、什么是圆?圆可以看作什么?

探究

二、

教学例1

【知识梳理】

圆的两种定义法 (1)旋转法 (2)集合法 2.直径、半径 3.弧 4.关系

【随堂练习】

圆的面积优秀教案范文第6篇

使学生掌握点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系;过圆上一点的圆的切线方程，判断直线与圆相交、相切、相离的代数方法与几何方法;两圆位置关系的几何特征和代数特征.

(二)能力训练点

通过点与圆、直线与圆以及圆与圆位置关系的教学，培养学生综合运用圆有关方面知识的能力.

(三)学科渗透点

点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系在初中平面几何已进行了分析，现在是用代数方法来分析几何问题，是平面几何问题的深化.

二、教材分析

1.重点：(1)直线和圆的相切(圆的切线方程)、相交(弦长问题);(2)圆系方程应用.

(解决办法：(1)使学生掌握相切的几何特征和代数特征，过圆上一点的圆的代线方程，弦长计算问题;(2)给学生介绍圆与圆相交的圆系方程以及直线与圆相交的圆系方程.) 2.难点：圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点(x0，y0)的切线方程的证明. (解决办法：仿照课本上圆x2+y2=r2上一点(x0，y0)切线方程的证明.)

三、活动设计

归纳讲授、学生演板、重点讲解、巩固练习.

四、教学过程 (一)知识准备

我们今天研究的课题是“点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系”，为了更好地讲解这个课题，我们先复习归纳一下点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系中的一些知识.

第 1 页 共 8 页 1.点与圆的位置关系

设圆C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0，y0)到圆心的距离为d，则有： (1)d>r (2)d=r (3)d

2.直线与圆的位置关系

设圆 C∶(x-a)2+(y-b)=r2，直线l的方程为Ax+By+C=0，圆心(a，

判别式为△，则有： (1)d

直线与圆相离，即几何特征;

直线与圆相交; 或(1)△>0 (2)△=0 (3)△<0 直线与圆相切;

直线与圆相离，即代数特征，

3.圆与圆的位置关系

设圆C1：(x-a)2+(y-b)2=r2和圆C2：(x-m)2+(y-n)2=k2(k≥r)，且设两圆圆心距为d，则有：

(1)d=k+r (2)d=k-r (3)d>k+r (4)d

两圆相交.

第 2 页 共 8 页 (5)k-r

(1)过圆上一点的切线方程：

①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则此点的切线方程为x0x+y0y=r2(课本命题).

②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广).

(2)相交两圆的公共弦所在直线方程：

设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.

(3)圆系方程：

①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0.若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ为参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程).

②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数).

(二)应用举例

和切点坐标.

分析：求已知圆的切线问题，基本思路一般有两个方面：(1)从代数特征分析;(2)从几何特征分析.一般来说，从几何特征分析计算量要小些.该例题由学生演板完成.

∵圆心O(0，0)到切线的距离为4，

第 3 页 共 8 页 把这两个切线方程写成

注意到过圆x2+y2=r2上的一点P(x0，y0)的切线的方程为x0x+y0y=r2，

例

2已知实数A、B、C满足A2+B2=2C2≠0，求证直线Ax+By+C=0与圆x2+y2=1交于不同的两点P、Q，并求弦PQ的长.

分析：证明直线与圆相交既可以用代数方法列方程组、消元、证明△>0，又可以用几何方法证明圆心到直线的距离小于圆半径，由教师完成.

证：设圆心O(0，0)到直线Ax+By+C=0的距离为d，则d=

∴直线Ax+By+C=0与圆x2+y1=1相交于两个不同点P、Q.

例

3求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2：x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆的方程.

解法一：

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相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0.

∵所求圆以AB为直径，

于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25. 解法二：

设所求圆的方程为：

x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0(λ为参数)

∵圆心C应在公共弦AB所在直线上，

∴ 所求圆的方程为x2+y2-4x+4y-17=0. 小结：

解法一体现了求圆的相交弦所在直线方程的方法;解法二采取了圆系方程求待定系数，解法比较简练.

(三)巩固练习

1.已知圆的方程是x2+y2=1，求：

第 5 页 共 8 页 (1)斜率为1的切线方程;

2.(1)圆(x-1)2+(y+2)2=4上的点到直线2x-y+1=0的最短距离是

(2)两圆C1∶x2+y2-4x+2y+4=0与C2∶x2+y2+2x-6y-26=0的位置关系是______.(内切) 由学生口答.

3.未经过原点，且过圆x2+y2+8x-6y+21=0和直线x-y+5=0的两个交点的圆的方程.

分析：若要先求出直线和圆的交点，根据圆的一般方程，由三点可求得圆的方程;若没过交点的圆系方程，由此圆系过原点可确定参数λ，从而求得圆的方程.由两个同学演板给出两种解法：

解法一：

设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. ∵(0，0)，(-2，3)，(-4，1)三点在圆上，

第 6 页 共 8 页 解法二：

设过交点的圆系方程为：

x2+y2+8x-6y+21+λ(x-y+5)=0.

五、布置作业

2.求证：两圆x2+y2-4x-6y+9=0和x2+y2+12x+6y-19=0相外切. 3.求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.

4.由圆外一点Q(a，b)向圆x2+y2=r2作割线交圆于A、 B两点，向圆x2+y2=r2作切线QC、QD，求：

(1)切线长;

(2)AB中点P的轨迹方程. 作业答案：

2.证明两圆连心线的长等于两圆半径之和 3.x2+y2-x+7y-32=0

六、板书设计

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