APOS理论是描述数学概念学习过程的模型, 认为学生对数学概念的构建需要经历四个阶段, 即活动阶段、过程阶段、对象阶段以及图示阶段, APOS解释了数学概念的形成过程, 将APOS理论应用于几何概念教学之中, 更有利于学生清晰牢固的完成数学概念的构建, 提高学习质量。以下为“直线与平面垂直的判定”教学设计:
一、教学目标
认识直线与平面垂直的关系, 深入理解与掌握直线与平面垂直的性质定理与判定定理, 并能够熟练应用于实际问题的解决。培养学生几何直观能力、抽象概括能力以及数学化归思想。
二、教学重难点
重点:引导学生正确理解直线与平面垂直的定义与判定定理, 并能够简单应用。
难点:引导学生掌握其中所蕴含的数学转化思想。
三、教学过程
(一) 活动阶段
1.创设问题情境
师:同学们, 图片中旗杆与地面, 木柱与地面之间是什么样的位置关系?还能举出类似的例子吗?
师生活动:引导学生说出生活中常见的直线与平面垂直的例子, 比如课桌桌腿与地面, 我们站立时的身体与地面, 等等, 由此增强学生对直线与平面垂直的直观感知。
2.引导学生进一步思考
师:在上节课中, 我们在思考空间中直线与平面平行问题时, 采取的方法是将其转化为直线与直线的平行, 那么同样的转化方法是否适用于处理空间中直线与平面垂直的问题。
师:如图3, 我们假设直线AB是旗杆, 它在地面上的影子是直线BC, 那么AB与BC之间的位置关系是什么呢?
师:旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆杆底部B的直线B1C1的位置关系又是什么呢?
师生活动:多媒体动态展示旗杆在地面上的影子, 随着太阳光照的变化而不断变化的过程, 引导学生观察思考, 得出旗杆所在直线与地面上的直线都垂直的结论。
(二) 过程阶段
1.总结反思
师:结合直线与平面平行的定义, 试着描述一下直线与平面垂直的定义。
师生活动:给予学生充足时间, 选几位学生作答, 并让其他学生进行纠正与补充, 若学生无法完成, 通过设问“是直线与平面内的一条直线垂直还是与两条直线垂直呢?”这时学生定会回答都不是, 那教师可继续提问“那是和平面内的任意一条直线都垂直吗?为什么”, 由此引导学生得出正确的结论。这时教师再带着大家一起对定义进行重复, 并在黑板上画出示意图。
2.定义辨析
师:请同学们辨析以下命题:
(1) 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线, 那么这条直线与这个平面垂直。
(2) 如果一条直线垂直于一个平面, 那么这条直线就垂直于这个平面内的任意直线。
师生活动:对于命题 (1) , 教师可提示学生将课桌当作平面, 直角三角板的直角边当作两条相交的直线, 笔当作一条直线, 再给予学生充足的时间, 举出反例以证明。
教师总结归纳:由命题 (2) 得出下列结论:
这个结论体现了平行与垂直两种位置关系的联系, 它是判断线线垂直的常用方法。从而使学生明确线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质, 线面垂直和线线垂直可以相互转化。
(三) 对象阶段
1.反思定义
师:我们为了证明直线与平面是垂直的关系, 是不是需要证明这条直线与平面内所有直线都垂直呢?
生:那样也太复杂了, 肯定有更简便的方法。
师:那同学们能找出简便方法吗?仔细观察图5、图6两幅图, 看看能理清头绪吗?
师生活动:引导学生思考, 并提问“是不是有一条直线与一个平面内两条相交的直线都垂直, 就可以证明该直线与此平面垂直了呢?”
2.实践检验
师:折纸实验。我们将三角形的纸的三个顶点分为设为A、B、C, 过△ABC的顶点A将纸片翻折, 得到折痕AD, 再将翻折后的纸片竖着放在课桌上, 也就是让三角形的BC边和BD边与桌面接触, 请同学们观察, 回答老师的问题:
折痕AD所在的直线与桌面垂直吗?
如果不垂直的话, 应该怎样翻转才能使其垂直于桌面呢?由折痕AD⊥BC, 翻转之后垂直关系不变, AD⊥CD, AD⊥BD还成立吗?通过折纸实验和老师所提的这几个问题, 你能得出什么结论吗?
师生活动:在动手操作中找出“不垂直”的原因, 进而找出垂直成立的条件。
3.适时推理
师:通过折纸实验, 结合公理, 我们现在能找出直线与平面垂直的判定方法了吗?
师生活动:与学生一起重复定理内容, 并用符号语言与图形语言表示。
(四) 图示阶段
(1) 具体应用
例1:如图8, 在长方体ABCD-A1B1C1D1中, 有哪些垂直于平面ABCD的直线?这些直线之间又是怎样的位置关系呢?
例2:如图9, 已知a∥b, a⊥α, 求证b⊥α。
师生活动:例1大部分学生都可以利用所学知识解答出来的, 教师只需给予学生充足的解题时间即可。例2是例1的延伸, 教师可借此进一步渗透转化思想。
习题:如图10, 在三棱锥V-ABC中, AV=CV, AB=BC, K是AC的中点, 求证AC⊥平面VKB。
(五) 课堂小结
(1) 线面垂直的判定方法是什么?体现了什么数学思想?
(2) 还存在什么问题吗?
(六) 课后作业
完成课后练习题;预习新课。
总之, 立体几何是高中数学教学中的重要内容, 基于APOS理论指导下的几何概念教学, 符合学生的心理发展特点与认知水平, 有助于提高教学质量, 教师需引导学生加强对概念图示的建构, 帮助学生更好的学习掌握几何内容。
摘要：几何概念教学一直是高中数学教学中的重难点内容, 本文以“直线与平面垂直的判定”教学为例, 介绍了APOS理论在数学概念教学中的具体应用。
关键词：APOS理论,高中数学,立体几何,概念教学
参考文献
[1] 唐毽香.基于APOS理论的高中立体几何概念教学研究[D].湖南师范大学, 2016.
[2] 王春红.高中数学概念教学探讨[J].课程教育研究, 2013 (17) .