构造法的特点描述的直观性和实现的具体性, 不但判定了数学对象的存在, 而且要按一定的方式在有限步内具体找到它。构造法按对命题的肯定与否定来分, 可分为构造结论与构造矛盾;按构造对象可分为构造函数、图形、模型、过程等等。本文主要是探讨高职高专数学中形成构造函数的一些思想方法, 从构造结论和构造矛盾两个部分入手。
1 构造结论
针对高职高专数学教学过程中, 一些定理和结论的证明当使用通常方法很难奏效时, 往往需要先构造一个与所证结果有关的辅助函数, 作为解决问题的桥梁, 然后运用已知条件和有关概念, 推证出所要证的结果, 这就是构造与结论有关的辅助函数的思想, 下面列举了四种构造结论的方法。
1.1 分析法
即指由未知出发紧扣已知条件一步一步的向已知进行分析, 在适当的地方引进辅助函数, 使已知和未知联系起来, 最后得证。
例1:微分中值定理。设函数F (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内可导, 则在 (a, b) 内至少存在一点ξ, 使得
<分析>在已证罗尔定理的基础上, 证明这个定理的关键就需要构造出一个函数F (x) 使之符合罗尔定理的条件。亦即:要证自然联想到构造函数为易证F (x) 满足罗尔定理的条件, 即F (x) 在上[a, b]连续, 在 (a, b) 内可导且F (a) 与F (b) 相等, 则在 (a, b) 内至少存在一点ξ使从而拉格朗日中值定理得证。
1.2 数形结合法
利用数形结合的方法, 求助于几何图象可构造出适当的辅助函数。
例2:在微分中值定理的证明中, 辅助函数f (x) 可以从定理的几何意义上得到。微分中值定理的几何意义是:如果连续曲线y=f (x) 的弧AB上除端点外处有不垂直于x轴的切线, 则在这段弧上至少有一点P, 使得曲线在P点的切线平行于弦AB。如图1所示:如把弦AB“拉下”到水平就转化为罗尔定理了。此时弧AB在P点的切线就是水平切线。即如在[a, b]上任一点x处的函数值f (x) 减去ΔABC中DE的值, 则所得函数一定满足罗尔定理。因此辅助函数可设为同例1易证此定理。从图形上可构造出证明此定理的其它辅助函数, 形如在上图中可看出ΔAMB的面积是x的函数由三角形面积公式, 也可以考虑取函数易证Φ (x) 满足罗尔定理的条件, 从而证明了定理。
1.3 变量代换法
利用变量代换将所讨论的式子作适当的变形, 再引进适当的辅助函数。
令, 则得1 (+aα) 1α>1 (+aβ) 1β取函数f (x) =1 (+ax) 1x, 则只须证明f (α) >f (β) (0<α<β) 换元之:只需证f (x) 在x>0时严格单减即可。由于f′ (x) 在[α, β]上小于零, 可得f (x) 在x>0时单减。
1.4 函数法
构造出一个新的函数通过适当整理, 而由需要求出一些特殊的函数值。
(1) 用来证明等式或结论。
例4:求证Cn1+2Cn2+3Cn3+L+nCnn=n2n-1。
证明:设f (x) =1 (+x) n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+L+Cnnxn
两边对x求导:f′ (x) =n1 (+x) n-1=Cn1+2Cn2x+L+nCnnxn-1
再令x=1即得:Cn1+2Cn2+3Cn3+L+nCnn=n2n-1
例5:若f (x) 和g (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内可导, 且f (a) =f (b) =0, 则在 (a, b) 内至少存在一点ξ, 使得f′ (ξ) +f (ξ) g′ (ξ) =0。
<分析>由于在所要证明的结论中出现了函数及其导数, 于是联想到函数ex, 在等式中又出现了g′ (x) , 因此可取辅助函数ϕ (x) =f (x) eg (x)
证明:构造辅助函数ϕ (x) =f (x) eg (x) , 由于ϕ (a) =ϕ (b) =0所以ϕ (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内可导, 由罗尔定理, ∃ξ∈ (a, b) 使ϕ′ (ξ) =0, 即f′ (ξ) eg (ξ) +f (ξ) g′ (ξ) eg (ξ) =0而eg (ξ) ≠0, 所以f′ (ξ) +f (ξ) g′ (ξ) =0得证。
例6:证明是整数。
<分析>观察本题结构特点和特征数字所处的位置, 将其推广到一般情况, 构造函数结论p (x) =1 (+x) 1988-1 (-x) 1988显然若能证明关于实变量x是偶次多项式, 则必是整数, 问题得证。
证明:令p (x) =1 (+x) 1988-1 (-x) 1988而p (-x) =-p (x) 有p (x) 关于x是奇次多项式, 则关于实变量x是偶次多项式, 则关于实变量x是偶次多项式, 特别地, 令是整数。原命题得证。
例7:任何一个函数都可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和。
<分析>构造函数上面该等式显然成立。
再令易证f1 (x) 为偶函数, f2 (x) 为奇函数, 从而结论得证。
证明:构造辅助函数ϕ (x) =f1 (x) +f2 (x) 其中而f1 (-x) =f1 (x) 所以f1 (x) 为偶函数, 又f2 (-x) =-f2 (x) 所以f2 (x) 为奇函数。从而证明了任何一个函数ϕ (x) 都可以表示成一个偶函数f1 (x) 与一个奇函数f2 (x) 之和。
(2) 用来证明方程的根的存在性。
例8:证明方程x=asinx+b, 其中a>0, b>0, 至少有一个正根, 且不超过a+b。
证明:设f (x) =asinx+b-x, 则f (x) 在[0, a+b]上连续且f (0) =b>0, f (a+b) =asin (a+b) +b- (a+b) =a[sin (a+b) --]1≤, 0当f (a+b) =0, 则a+b就是方程且不超过a+b的正根, 当f (a+b) <0, 则由介值定理在0与a+b之间至少存在一点x0使f (0x) =0即x0=asinx0+b, 故方程x=asinx+b至少有一个正根, 且它不超过a+b。
2 构造矛盾
在教学过程中, 当我们遇到一个未被推导、未被证明、未经验算的命题时, 为了判断某个命题正确, 就要证明其为真;要想否定或推翻某个命题, 需要反例证明其为假, 而反例是需要构造的。这就是构造矛盾的辅助函数的思想。下面举例说明构造矛盾的应用。
例1:判断22n+1是否都是素数 (n∈N) 。
解:这便是曲型的费马猜想。费马曾对n=1, 2, 3, 4进行验证, 发现221+, 1222+, 1223+, 1224+1都是素数, 从而不完全归纳法猜测形为22n+1的数都是素数, 然而费马这个数论大师错了, 欧拉后来发现, 当n=5时225+1=4294967297=641×6700417可见不是素数。从而证明了22n+1不一定都是素数 (n∈N) 。
例2:函数y=f (x) 在一点x0连续, 仅是函数y=f (x) 在点x0可导的必要条件, 但不是充分条件。
<分析>原结论说明函数y=f (x) 在点x0处连续时, 函数y=f (x) 在点x0不一定可导。换言之可导性比连续性要求的条件更多。
解:例如函数f (x) =|x|在点0连续, 但是它在点0处却不可导。从而说明了函数y=f (x) 在点x0处连续不是在该点可导的充分条件。
例3:函数f (x) 在[a, b]上有界, 仅是函数f (x) 在[a, b]可积的必要条件, 并不是充分条件。
解:构造函数
显见狄利克菜函数D (x) 在[a, b]上有界, 但是它在[a, b]却不可积。
例4:|f (x) |在[a, b]可积仅是f (x) 在[a, b]上可积的必要条件而不是充分条件。
〈分析〉即|f (x) |在[a, b]可积, f (x) 在[a, b]不一定也可积。
解:构造函数
显见该函数f (x) 在[0, 1]不可积, 而|f (x) |在[0, 1]可积。
3 结语
从以上实例可以看出, 构造辅助函数一般都是从构造结论与构造矛盾入手。在构造过程中既要具备抽象的思维能力, 又需要抽象的想象能力, 要能正确“猜想”和构造出所需要的辅助函数。在教学中如果多加强对构造辅助函数的研究对于开阔高职高专学生的思路, 培养他们的创新意识和分析问题、解决问题的能力具有十分重要的意义。
摘要：在高等数学教学中, 常常遇到通过构造适当的辅助函数的思想方法来解决数学问题。构造函数的方法一般是按构造对象来分, 可分为构造函数的图形、模型、过程等, 本文主要是探讨按对命题的肯定与否定来分, 可分为构造结论与构造矛盾, 同时从构造结论和构造矛盾两个部分入手探讨高职高专数学教学中形成构造函数的一些思想方法。在教学中加强对构造辅助函数的研究, 对于开阔学生的思路, 培养他们的创新意识和分析问题、解决问题的能力具有十分重要的意义。利用构造法作为桥梁, 用构造思想锻炼学生的创造性思维, 使问题得到完美解决。
关键词：构造法,构造函数,构造结论,构造矛盾,思想方法,创造性思维
参考文献
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